检查正确性或正半定性

Question

我想用Python检查矩阵是正定的还是正半定的.

我怎样才能做到这一点？SciPy中是否有针对该模块或其他模块的专用功能？

Answer 1

我假设你已经知道你的矩阵是对称的.

对正定性的一个很好的测试(实际上是标准的!)是试图计算其Cholesky分解.如果你的矩阵是正定的,它就会成功.

这是最直接的方式,因为它需要O(n ^ 3)运算(具有小常数),并且您需要至少n个矩阵向量乘法来"直接"测试.

Answer 2

如果您使用正定(PD)矩阵,Cholesky分解是一个不错的选择.

但是,它会在正半无限(PSD)矩阵上抛出以下错误,比方说,

A = np.zeros((3,3)) // the all-zero matrix is a PSD matrix
np.linalg.cholesky(A)
LinAlgError: Matrix is not positive definite -
Cholesky decomposition cannot be computed

对于PSD矩阵,您可以使用scipy/numpy的eigh()来检查所有特征值是否为非负的.

>> E,V = scipy.linalg.eigh(np.zeros((3,3)))
>> E
array([ 0.,  0.,  0.])

但是,您很可能会遇到数值稳定性问题.要克服这些,您可以使用以下功能.

def isPSD(A, tol=1e-8):
  E = np.linalg.eigvalsh(A)
  return np.all(E > -tol)

在大约PSD到达给定容差的矩阵上返回True.

Answer 3

A如果A非常大，检查对称矩阵的整个特征值是否为非负很耗时，而该模块scipy.sparse.linalg.arpack提供了一个很好的解决方案，因为可以通过指定参数来自定义返回的特征值。（Scipy.sparse.linalg.arpack更多信息请参阅）

我们知道，如果 的谱的两端A都是非负的，那么其余的特征值也一定是非负的。所以我们可以这样做：

from scipy.sparse.linalg import arpack
def isPSD(A, tol = 1e-8):
    vals, vecs = arpack.eigsh(A, k = 2, which = 'BE') # return the ends of spectrum of A
    return np.all(vals > -tol)

通过这个我们只需要计算两个特征值来检查PSD，我认为这对于大 A

Answer 4

一种好的解决方案是计算行列式的所有次式并检查它们都是非负数。