numpy中基础的变化

Question

给定两个基矩阵basis_old并basis_new在 numpy 中，库中是否有一个函数可以获取转换矩阵以将向量转换为其vec在basis_old中的表示basis_new？

例如，如果我vec = [1,2,3]在标准基础中有一个向量[1,0,0], [0,1,0], [0,0,1]，那么如何将其转换为另一个基础，例如，

e1 = [1 0 0]
e2 = [0 0 1]
e3 = [0 1 0]
basis_new = np.array([e1, e2, e3])

# I want something like this
vec_new = np.linalg.change_of_basis(vec_old, basis_old, basis_new)

# Or this:
transformation_matrix = np.linalg.basis_change(basis_old, basis_new)

编辑：将 base_new 更改为线性无关

Answer 1

记住一组向量 w1、w2、w3 作为 R3 的基意味着什么。

1. w 必须是线性无关的。这意味着 x1 w1 + x2 w2 + x3 w3 = 0 的唯一解决方案应该是 x1 = x2 = x3 = 0。但在您的情况下，您可以验证 x1 = 1, x2 = -2, x3 = 1 是另一种解决方案. 所以你basis_new的无效。

2. 矩阵 W = [w1, w2, w3] 必须是可逆的。

3. 对于 R3 中的每个向量，必须有一种独特的方式将其写成 w 的线性组合。

一旦确定了这些要求作为基础，就可以通过简单的矩阵乘法计算新坐标。假设您想将向量 v 表示为 v = c1 w1 + c2 w2 + c3 w3。将其写成矩阵形式，v = W c。要得到 c，你所要做的就是将两边都乘以 W 的倒数。

c = W^{-1} v

在 numpy 中，您可以将其写为，

vec_new = np.linalg.inv(np.array([w1, w2, w3])).dot(vec_old)