如何在d维球/球内部生成均匀的随机点？

Question

我环顾四周，在单位球上/单位球上生成均匀随机点的所有解决方案都是针对2或3维设计的。

在任意尺寸的球内生成均匀的随机点的（灵活）方法是什么？特别是，不仅限于球的表面。

首先，在多维数据集中生成随机点并抛弃范数大于1的点在高维中是不可行的。高尺寸的单位球体积与单位立方体的体积之比为0。即使在10个维度中，单位立方体中也只有约0.25％的随机点也位于单位球内部。

Answer 1

在d维球中生成均匀分布的随机点的最佳方法似乎是通过考虑极坐标（方向而不是位置）。下面提供了代码。

1. 在单位球上选择一个均匀分布的随机点。
2. 选择一个随机半径，其中半径的似然性对应于具有该半径尺寸的球的表面积d。

该选择过程将（1）使所有方向均等可能，并且（2）使单位球内的球表面上的所有点均等可能。这将在球的整个内部生成我们所需的均匀随机分布。

随机选择方向（在单位球上）

为了实现（1），我们可以从d高斯分布的独立绘图中随机生成一个向量，并将其标准化为单位长度。这是有效的，因为高斯分布具有指数分布的概率分布函数（PDF）x^2。这意味着联合分布（对于独立的随机变量，这是其PDF的乘积）将具有(x_1^2 + x_2^2 + ... + x_d^2)指数关系。请注意，这类似于球体在d维上的定义，这意味着d高斯分布中独立样本的联合分布对于旋转是不变的（向量在球体上是均匀的）。

这是2D生成的200个随机点的样子。

选择一个随机半径（具有适当的概率）

为了实现（2），我们可以通过使用累积分布函数（CDF）的逆来生成半径，该函数对应于d半径为的球的表面积r。我们知道n球的表面积与成正比r^d，这意味着我们可以在范围内将其[0,1]用作CDF。现在，通过映射[0,1]逆向范围内的随机数来生成随机样本r^(1/d)。

这是CDF的可视化x^2（对于二维），随机生成的数字[0,1]将映射到该曲线上的相应x坐标。（例如.1？.317）

以上代码

最后，这是一些计算上述所有内容的Python代码（假设您已安装NumPy）。

# Generate "num_points" random points in "dimension" that have uniform
# probability over the unit ball scaled by "radius" (length of points
# are in range [0, "radius"]).
def random_ball(num_points, dimension, radius=1):
    from numpy import random, linalg
    # First generate random directions by normalizing the length of a
    # vector of random-normal values (these distribute evenly on ball).
    random_directions = random.normal(size=(dimension,num_points))
    random_directions /= linalg.norm(random_directions, axis=0)
    # Second generate a random radius with probability proportional to
    # the surface area of a ball with a given radius.
    random_radii = random.random(num_points) ** (1/dimension)
    # Return the list of random (direction & length) points.
    return radius * (random_directions * random_radii).T

为了后代，以下是使用上述代码生成的5000个随机点的图形。