四元数的经度/纬度

Question

我有一个经度和纬度,并希望将其转换为四元数,并想知道如何做到这一点？我想用这个,因为我有一个应用程序,它将地球投射到球体上,我想从一个位置旋转到另一个位置.

最好!

Answer 1

有一种方法可以在不使用矩阵或向量的情况下解决这个问题，类似于这个 numpy implementation。我们可以将经度/纬度视为组合在一起的两个四元数旋转。

让我们使用 Z-up 右手坐标系。让我们称之为经度？和纬度？，以及由两者表示的点为（？，？）。对于可视化，红色轴对应 X，绿色对应 Y，蓝色对应 Z。

我们想要找到表示从 (0, 0) 旋转到（a , b）的四元数（红色）：

我们可以将这种旋转表示为首先是纵向旋转，然后是横向旋转的组合，如下所示：

首先，我们沿 Z 轴旋转了a，从而转换了 X 和 Y 轴。然后，我们沿新的局部 Y 轴旋转b。因此，我们知道该旋转的两组轴/角度信息。

幸运的是，从轴/角度到四元数的转换是已知的。给定一个角度？和轴向量 ?，得到的四元数是：

(cos(?/2), ?.x*sin(?/2), ?.y*sin(?/2), ?.z*sin(?/2))

所以第一次旋转表示为沿世界 (0, 0, 1) 轴旋转一个度，给我们：

q1 = (cos(a/2), 0, 0, sin(a/2))

第二个旋转由沿变换/局部 (0, 1, 0) 轴旋转b度表示，给我们：

q2 = (cos(b/2), 0, sin(b/2), 0)

我们可以将这两个四元数相乘，得到一个四元数，表示从 (0, 0) 到 ( a , b ) 的复合旋转。四元数乘法的公式有点长，但你可以在这里找到它。结果：

q2*q1 = (cos(a/2)cos(b/2), -sin(a/2)sin(b/2), cos(a/2)sin(b/2), sin(a/2)cos(b/2))

并不是说它有多大意义，但是我们可以确认这个公式与之前提到的 numpy 实现相同。

JCooper 提到了一个重要的观点，即在本例中沿 X 轴仍保留一个自由度。如果？保持在±90度以内，我们可以想象Z轴总是向上。这具有约束 X 轴旋转的效果，并且希望是您想要的。

希望这可以帮助！

编辑：请注意，这与使用 2 个欧拉角基本相同。因此，要反转这种转换，您可以使用任何四元数到欧拉角的转换，前提是旋转顺序相同。

Answer 2

经度和纬度与球坐标中的方位角 (theta - [0, 2*PI]) 和倾角 (rho? [0,PI]) 非常相似（当然对于表面，半径 r=1）。在我发布的链接中，Boost 有一个用于球形到四元数的函数。