拉普拉斯滤波器是如何计算的？

Question

我并没有真正了解他们是如何提出导数方程的。有人可以详细解释一下，甚至可以提供指向具有足够数学解释的地方的链接吗？

拉普拉斯滤波器看起来像

Answer 1

拉普拉斯先生提出了这个等式。这就是拉普拉斯算子的简单定义：二阶导数之和（你也可以把它看成Hessian 矩阵的迹）。

您显示的第二个方程是二阶导数的有限差分近似。这是您可以对离散（采样）数据进行的最简单的近似。导数定义为斜率（来自维基百科的方程）：

在离散网格中，最小的h是 1。因此导数是f(x+1)-f(x)。这个导数，因为它使用x和 右边的像素，引入了半像素偏移（即你计算这两个像素之间的斜率）。去的2^次阶导数，简单地计算上的导数的结果的衍生物：

f'(x) = f(x+1) - f(x)
f'(x+1) = f(x+2) - f(x+1)

f"(x) = f'(x+1) - f'(x)
      = f(x+2) - f(x+1) - f(x+1) + f(x)
      = f(x+2) - 2*f(x+1) + f(x)

因为每个衍生物引入了半像素移位，在2^次阶导端部向上用1像素移位。所以我们可以将输出向左移动一个像素，从而没有偏差。这导致了序列f(x+1)-2*f(x)+f(x-1)。

计算这个二阶导数与使用滤波器卷积相同[1,-2,1]。

应用这个过滤器，还有它的转置，并添加结果，相当于与内核卷积

[ 0, 1, 0       [ 0, 0, 0       [ 0, 1, 0
  1,-4, 1    =    1,-2, 1    +    0,-2, 0
  0, 1, 0 ]       0, 0, 0 ]       0, 1, 0 ]