点到线的距离 3d 公式

Question

我正在寻找一个 javascript 3D 公式来获取从点到线的距离。公式也可以是另一种编程语言。P是一个点，A&B是直线上的点。

P=(4,2,1);
A=(1,0,1);
B=(1,2,0);

Answer 1

的最近点X至点P就行（A，V）是点，其中，所述线（X，P）是垂直于线（A，B）。

如果一条直线由两个点A和定义B，那么给出直线方向的单位向量 D可以计算如下（注意单位向量的长度为 1）：

D = normalize(B-A);

对于以下公式，O需要在线上的一个点，例如O = A。

现在必须找到与直线 ( , )上X的点最近的点。POD

首先计算V从O到的向量P：

V = P - O;

的距离d从O到交叉点（最近点）X可以通过计算标量积。
一般来说，2个向量的点积等于2个向量之间夹角的余弦乘以两个向量的幅度（长度）。

dot( A, B ) == | A | * | B | * cos( angle_A_B ) 

由于D是一个单位矢量，的点积V和D等于所述线之间的角度的余弦（O，D）和向量V，乘以的量（长度）V：

d = dot(V, D);

交点X，可以通过将点O沿线 ( D) 移动距离来计算d：

X = O + D * d;    

所以交点的公式是：

O ... any point on the line
D ... unit vector which points in the direction of the line
P ... the "Point"

X = O + D * dot(P-O, D); 

就行了计算由点A，B并且点P是：

D = normalize(B-A);
X = A + D * dot(P-A, D);

dot3 维笛卡尔坐标的乘积可以表示为：

dot(A, B) = Ax*Bx + Ay*By + Az*Bz

一个normalized向量（单位向量）可以通过以下方式计算：

len(A) = sqrt(Ax*Ax + Ay*Ay + Az*Az)
notrmalize(A) = A / len(A)

在纯 Javascript 中，这可以计算如下：

var P=[4,2,1];
var A=[1,0,1];
var B=[1,2,0];

var AB    = [B[0]-A[0], B[1]-A[1], B[2]-A[2]];
var lenAB = Math.sqrt(AB[0]*AB[0] + AB[1]*AB[1] + AB[2]*AB[2]);

var D  = [AB[0]/lenAB, AB[1]/lenAB, AB[2]/lenAB];
var AP = [P[0]-A[0], P[1]-A[1], P[2]-A[2]];

var d = D[0]*AP[0] + D[1]*AP[1] + D[2]*AP[2];

var X = [A[0] + d * D[0], A[1] + d * D[1], A[2] + d * D[2]];

这是很容易通过这个three.js所- Vector3，其中用于向量运算一样的操作add，sub，dot和normalize定义如下：

var P = new THREE.Vector3( 4, 2, 1 );
var A = new THREE.Vector3( 1, 0, 1 );
var B = new THREE.Vector3( 1, 2, 0 );

var D = B.clone().sub( A ).normalize();
var d = P.clone().sub( A ).dot( D );
var X = A.clone().add( D.clone().multiplyScalar( d ) );