Python 中的傅里叶级数拟合

Question

我有一些数据想要使用二阶、三阶或四阶傅立叶级数进行拟合。

虽然关于堆栈溢出的这个问题和答案接近我想要使用 scipy 做的事情，但他们已经将系数预先定义为 tau = 0.045 。我希望我的拟合能够找到具有 95% 置信区间的可能系数（a0、w1、w2、w3 等），就像傅里叶级数的MATLAB 曲线拟合等效项一样。我看到的另一个选项是使用sympy 中的 fourier_series，但是该函数仅适用于适合定义函数的符号参数，而不适用于原始数据。

1）有没有办法让 sympy fourier_series 接受原始数据而不是函数或使用该库的其他解决方法？

2）或者考虑到存在多个未知数（系数），对数据进行 scipy 曲线拟合

Answer 1

如果您愿意，您可以sympy使用我为此目的编写的名为symfit. 它基本上scipy使用sympy接口进行包装。使用symfit，您可以执行如下操作：

from symfit import parameters, variables, sin, cos, Fit
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def fourier_series(x, f, n=0):
    """
    Returns a symbolic fourier series of order `n`.

    :param n: Order of the fourier series.
    :param x: Independent variable
    :param f: Frequency of the fourier series
    """
    # Make the parameter objects for all the terms
    a0, *cos_a = parameters(','.join(['a{}'.format(i) for i in range(0, n + 1)]))
    sin_b = parameters(','.join(['b{}'.format(i) for i in range(1, n + 1)]))
    # Construct the series
    series = a0 + sum(ai * cos(i * f * x) + bi * sin(i * f * x)
                     for i, (ai, bi) in enumerate(zip(cos_a, sin_b), start=1))
    return series

x, y = variables('x, y')
w, = parameters('w')
model_dict = {y: fourier_series(x, f=w, n=3)}
print(model_dict)

这将打印我们想要的符号模型：

{y: a0 + a1*cos(w*x) + a2*cos(2*w*x) + a3*cos(3*w*x) + b1*sin(w*x) + b2*sin(2*w*x) + b3*sin(3*w*x)}

接下来，我将把它拟合到一个简单的步骤函数中，以向您展示它是如何工作的：

# Make step function data
xdata = np.linspace(-np.pi, np.pi)
ydata = np.zeros_like(xdata)
ydata[xdata > 0] = 1
# Define a Fit object for this model and data
fit = Fit(model_dict, x=xdata, y=ydata)
fit_result = fit.execute()
print(fit_result)

# Plot the result
plt.plot(xdata, ydata)
plt.plot(xdata, fit.model(x=xdata, **fit_result.params).y, color='green', ls=':')

这将打印：

Parameter Value        Standard Deviation
a0        5.000000e-01 2.075395e-02
a1        -4.903805e-12 3.277426e-02
a2        5.325068e-12 3.197889e-02
a3        -4.857033e-12 3.080979e-02
b1        6.267589e-01 2.546980e-02
b2        1.986491e-02 2.637273e-02
b3        1.846406e-01 2.725019e-02
w         8.671471e-01 3.132108e-02
Fitting status message: Optimization terminated successfully.
Number of iterations:   44
Regression Coefficient: 0.9401712713086535

并产生以下图：

就是这么简单！剩下的我就留给你们想象吧。有关详细信息，您可以在此处找到文档。