逆高斯分布的极大似然估计

Question

我试图重现实际和估计参数'tau'(for over a month :()之间的均方误差.估计'tau',即'tau_hat'通过最大似然估计(MLE)获得,如下所示.

联合概率密度函数f(y|x,tau)由下式给出

在哪里u_i = x_i +T和T~IG(mu,lambda).IG:逆高斯.u是期望值y.PDF格式由.f_T(t)给出

我根据这个网站编写的代码是

    clear
    lambda  =   8.1955;
    mu      =   10;
    N       =   128; % max number of molecules
    x       =   zeros(N,1); % transmission time of the molecules from the Tx; for K = 1
    tau     =   .5; % arbitrary initital tau
    simN    =   1000 ; % # runs per N 
    no_molecules_per_simN   =  [4, 8, 32, 64, N];
    tau_hat   =   zeros(size(no_molecules_per_simN));

    for ii=1: length(no_molecules_per_simN)

        Lkeh  = zeros(1,length(no_molecules_per_simN(ii)));  % inititalize likelihood array

        for jj=1: simN
            T               =  random('InverseGaussian', mu,lambda, [no_molecules_per_simN(ii),1]); % random delay
            y_prime         =  x(1:no_molecules_per_simN(ii)) + T + tau; % arrival time of the molecules seen by the Rx
            y_prime_sort    =  sort(y_prime); % to arrange them in the ascending order of arrival
            u               =  y_prime_sort;  % assign to u variable
            t               =  u - x(1:no_molecules_per_simN(ii)) - tau;
            for kk = 1: length(u)
                % applying the likelihood function to eq. 3 and ignoring the constant terms
                 %linear likelihood
%             Lkeh(jj,kk)    =  prod(t(kk).^-1.5).*exp(-sum((t(kk) - mean(t)).^2./t(kk)).*(lambda./(2.*mean(t).^2 )));

% [UPDATE to the code]
            % log likelihood
            Lkeh(jj,kk)    =   -1.5*sum(t(kk))-(lambda./(2.*mu.^2 )).*sum((t(kk) - mu).^2./t(kk));

            end

        end
        Lkeh_mean       =  mean(Lkeh,1); % averging the values
    % [UPDATE to the code]
        [maxL,index]    =  max(Lkeh_mean);
        t_hat(ii)       =   T(index) ; % this will give the likelihood value of the propagation delay
        tau_hat(ii)     =   mean(u -  x(1:no_molecules_per_simN(ii)) - t_hat(ii)); % reverse substitution

    end

    MSE = zeros(size(tau_hat)); % initializing the array for MSE

    for ii=1:length(tau_hat)
        MSE(ii) = immse(tau,tau_hat(ii)); % mean squared error
    end

    figure
    loglog(no_molecules_per_simN,MSE,'-o')
    xlabel('n_{1}(quantity of molecules)')
    ylabel('MSE(sec^{2})')
    grid on

我得到的结果是

但是,我应该获得红色箭头指向的那个

我在代码中犯的错误是什么？我不太清楚我是如何计算的argmax.供你参考,我所指的科学论文就在这里.

Answer 1

我无法运行你的代码,因为它需要一些我没有的工具箱.那说,以下行:

tau_hat(ii)     =  max(Lkeh); 

会给你最大可能性的值.这不是你的真实意图,这是tay_hat 在其达到您的最大可能性.

对于tay_hat的给定值,您需要tay函数将tay_hat映射到似然值.假设这就是你在这里做的,我不确定对tay_hat的依赖性在哪里.假设Lkeh是我刚才描述的

[maxLikelihoodValue, maxLikelihoodIndex] = max(Lkeh);

使用max函数的两个输出,您将获得最大似然值,最重要的是,最大似然值的索引.如果你已经明确定义了tay向量,那么tay_hat将简单地给出

tay_hat = tay(maxLikelihoodIndex);

所以基本上是你获得最大可能性的tay值,而不是最大似然本身.

为了给你一个玩具示例,假设你的似然函数是L(x)= -x ^ 2 - 2*x,

假设它是离散的,以便

 x = linspace(-2,2,30);

那么L的离散版本将是

L_x = -x.^2 -2*x;

那么最大似然值将简单地给出

max(L_x);

恰好是0.9988(事实上接近确切的值)

但你追求的是什么the value of x at which this maximum occurs.

因此,您首先在获得最大值的序列中提取索引,通过:

[maximumLikelihood, maxLikIndex ] = max(L_x) ;

然后在该索引处找到x的估计值,只需在该索引处请求x的值:

x (maxLikIndex)

如预期的那样,大约是-1.0.在您的示例中,您希望估计最有可能的tau_hat(在频率框架中)由最大化函数的值(这不是函数本身的最大值)给出.