可以表示为浮点数的最大奇数

Question

我想知道可以完全表示为浮点数的最大奇数整数是多少？以及为什么在这种情况下表示为浮点数的最大偶数之间存在差异。

我相信这与基数 2 指数 2^n-1 有关，但是我对 C 中的数据表示不够熟悉，无法看出区别。

Answer 1

对于 IEEE-754 基本 32 位二进制浮点，可表示的最大奇数是 2 ²⁴ ?1。

对于 IEEE-754 基本 64 位二进制浮点数，可表示的最大奇数是 2 ⁵³ ?1。

这是因为格式具有 24 位和 53 位有效数。（有效数是浮点数的小数部分。）

由有效数位中的位表示的值根据浮点数的指数进行缩放。为了表示奇数，浮点数的有效位中必须有一位表示 2 ⁰。对于24位有效数，如果最低位表示2 ⁰，则最高位表示2 ²³。当所有位都打开时获得最大值，这使得值 2 ⁰ + 2 ¹ + 2 ² + … 2 ²³，等于 2 ²⁴ ?1。

更一般地，最大的可表示奇整数通常是scalbnf(1, FLT_MANT_DIG) - 1。这也可以计算为(2 - FLT_EPSILON) / FLT_EPSILON。（这假设正常情况下FLT_RADIX是偶数和FLT_MANT_DIG <= FLT_MAX_EXP。请注意，如果FLT_MANT_DIG == FLT_MAX_EXP，后一个表达式 withFLT_EPSILON应该使用，因为前者溢出。）

异常情况，只是为了完整性：

• 如果FLT_RADIX是奇数并且FLT_MANT_DIG <= FLT_MAX_EXP，最大可表示的奇数整数是FLT_MAX如果FLT_MANT_DIG是奇数，FLT_MAX - scalbnf(FLT_EPSILON, FLT_MAX_EXP+1)否则是。
• 如果FLT_RADIX是偶数并且FLT_MANT_DIG > FLT_MAX_EXP，那么： 如果FLT_MAX_EXP > 0，最大可表示的奇数是floorf(FLT_MAX)。否则，没有奇数可表示。
• 如果FLT_RADIX是奇数并且FLT_MANT_DIG > FLT_MAX_EXP，则： 如果FLT_MAX_EXP > 0，最大可表示的奇数整数是floorf(FLT_MAX)如果FLT_MANT_DIG - FLT_MAX_EXP是奇数或floorf(FLT_MAX)-1其他。否则，没有奇数可表示。