在同一平面内具有相同原点的两个3D矢量之间的有符号角度

Question

我需要的是位于同一3D平面内且具有相同原点的两个矢量Va和Vb之间的有符号旋转角度,知道:

1. 包含两个矢量的平面是任意的,并且不与XY或任何其他基本平面平行
2. Vn - 平面法线
3. 两个向量与法线具有相同的原点O = {0,0,0}
4. Va - 是测量Vn左手旋转的参考

应该以这样的方式测量角度,因此如果平面是XY平面,则Va将代表它的X轴单位矢量.

我想我应该通过使用Va作为X轴并将Vb和Vn的叉积作为Y轴来执行一种坐标空间变换,然后使用像atan2()或其他东西一样的2d方法.有任何想法吗？公式？

Answer 1

使用两个向量的叉积来得到由两个向量形成的平面的法线.然后检查它与原始平面法线之间的点积,看它们是否面向同一方向.

angle = acos(dotProduct(Va.normalize(), Vb.normalize()));
cross = crossProduct(Va, Vb);
if (dotProduct(Vn, cross) < 0) { // Or > 0
  angle = -angle;
}

Answer 2

我目前使用的解决方案似乎在这里缺失.假设平面法线是标准化的(|Vn| == 1),则有符号角度就是:

atan2((Vb x Va) . Vn, Va . Vb)

返回[-PI,+ PI]范围内的角度(或任何可用的atan2实现返回的角度).

.并且x分别是点和交叉产品.

没有明确的分支,也不需要除法/向量长度计算.使用Va x Vb了右手旋转代替左手一个

解释为什么这样做:让alpha为矢量之间的直接角度(0°到180°)和beta我们正在寻找的角度(0°到360°)beta == alpha或者beta == 360° - alpha

Va . Vb == |Va| * |Vb| * cos(alpha)    (by definition) 
        == |Va| * |Vb| * cos(beta)     (cos(alpha) == cos(-alpha) == cos(360° - alpha)


Va x Vb == |Va| * |Vb| * sin(alpha) * n1  
    (by definition; n1 is a unit vector perpendicular to Va and Vb with 
     orientation matching the right-hand rule)

Therefore (again assuming Vn is normalized):
   n1 . Vn == 1 when beta < 180
   n1 . Vn == -1 when beta > 180

==>  (Va x Vb) . Vn == |Va| * |Vb| * sin(beta)

最后

tan(beta) = sin(beta) / cos(beta) == ((Va x Vb) . Vn) / (Va . Vb)

Answer 3

您可以分两步完成此操作:

1. 确定两个向量之间的角度

   theta = acos(Va,Vb的点积).假设Va,Vb被归一化.这将给出两个矢量之间的最小角度

2. 确定角度的符号

   求向量V3 = Va,Vb的叉积.(顺序很重要)

   如果(V3,Vn的点积)为负,则θ为负.否则,theta是积极的.

Answer 4

您可以使用点积来获得角度.要获得角度的符号,请使用符号Vn * (Va x Vb).在XY平面的特殊情况下,这会减少到刚好Va_x*Vb_y - Va_y*Vb_x.

Answer 5

将一个向量与另一个向量交叉并标准化以获得单位向量。

两个向量之间角度的正弦等于叉积的大小除以两个向量的大小：

http://mathworld.wolfram.com/CrossProduct.html