为什么我们通过将第一行与第二列相乘来实现.它的实际用途和发明者是什么？逻辑上4x2表示四次两次或两次四次.那么为什么矩阵乘法只是相应元素的点积？
这是困扰我的事情之一.
对于数字,2x4 = 4x2,因为它们是可交换的.矩阵不通勤,所以底层数字的交换性实际上与它无关.
这个想法是一个向量(我指的是一个垂直写入条目的列向量)是一个向量空间中的实体.此向量空间上定义了加法和标量乘法.它还附带一个基础,{e_n}.e_i只是第i个分量中的1和其他地方的0的矢量.任何向量都可以写为{e_n}的线性组合.例如,在二维空间中,
|x_1| |1| |0|
|x_2| = x_1 |0| + x_2 |1|
矩阵作为线性变换作用于该向量并产生新的向量.线性变换只是一个函数T,对于任何向量,x和y以及任何实数c ,T(x + y)= T(x)+ T(y)和c T(x)= T(cx) (虽然我们可以把它带到其他领域).因此矩阵A作用于矢量x并产生另一个矢量y.A x = y.
|a_11 a_12| |x_1| |y_2| |x_1 a_11 + x_2 a_12|
|a_21 a_22| |x_2| = |y_1| = |x_1 a_21 + x_2 a_22|
但我们可以将矩阵视为由它的列组成的一组矢量,这样就可以了
x_11 |a_11| + x_2*|a_12|
|a_22| |a_22|
因此,我们重新表达了矩阵在向量上的定义(m*n矩阵乘以*1矩阵)作为矩阵列的线性组合.
这是允许我们将矩阵与线性变换混合的原因.为了表示给定的线性变换T,作为矩阵,我们只将T(e_i)放在矩阵的第i列中.将此矩阵称为A_T.然后A_T x = x_1 T(e1)+ x_2 T(e2)+ ... + x_n T(en).但是通过T的线性,如果x = x_1 e_1 + x_2 e_2 + ... + x_n e_n,则T(x)= x_1 T(e_1)+ x_2 T(e_2)+ ... + x_n T(e_n).但这正是我们之前为A_T写的.因此,需要将矢量乘以矩阵的定律,以允许我们将线性变换表示为矩阵.
现在让我们考虑乘以一般矩阵.这里的想法是线性函数的组合,首先做T _1然后做T _2.对于某些向量x,这是T _2(T _1(x)).我们从上面知道我们可以将它们视为矩阵乘法.那是 A_T2(A_T1 x).让我们从两个方面来看待它,因为其他任何东西都是自虐的,并且足以让所有想法得以实现.让我们重新标记矩阵作为A_t2 = 阿和A_T1 = 乙.然后我们有
A(B x) = |a_11 a_12| (|b_11 b_12| |x_1|)
|a_21 a_22| (|b_21 b_22| |x_2|)
= |a_11 a_12| |x_1 b_11 + x_2 b_12|
|a_21 a_22| |x_1 b_21 + x_2 b_22|
= |(x_1 b_11 + x_2 b_12) a_11 + (x_1 b_21 + x_2 b_22) a_12|
|(x_1 b_11 + x_2 b_12) a_21 + (x_1 b_21 + x_2 b_22) a_22|
= |x_1 (a_11 b_11 + a_12 b_21) + x_2 (a_11 b_12 + a_12 b_22)|
|x_1 (a_21 b_11 + a_22 b+21) + x_2 (a_21 b_12 + a_22 b_22)|
= |(a_11 b_11 + a_12 b_21) (a_11 b_12 + a_12 b_22)| |x1|
|(a_21 b_11 + a_22 b+21) (a_21 b_12 + a_22 b_22)| |x2|
这只是矩阵乘法.
PS.也许可能属于Math.SO,但我不投票结束,因为我回答.它也可能太基础了.