生成唯一（非重复）随机数的高效算法

Question

我想解决以下问题。我必须在一个非常大的集合中进行采样，数量级为 10^20，并提取一个样本而没有重复大小约为 10%-20% 的样本。鉴于集合的大小，我认为像 Fisher-Yates 这样的算法是不可行的。

我在想像随机路径树这样的东西可能适用于 O(n log n) 并且不能更快地完成，但我想问一下是否已经实现了这样的东西。

感谢您的时间！

Answer 1

我不知道我在下面描述的技术在随机性的正式测试中表现如何，但它确实给出了“随机”的结果。

你可以用乘法逆来做到这一点。这个想法是您使用数学函数将 1-N 范围内的每个整数映射到同一范围内的唯一整数。这通常用于生成混淆密钥，但您可以通过更改种子值和从中提取项目的范围来调整它以生成随机子集。

不久前，我写了一篇关于如何生成混淆顺序键的博客文章。这是代码：

private void DoIt()
{
    const long m = 101;         // Number of keys + 1
    const long x = 387420489;   // must be coprime to m

    // Compute the multiplicative inverse
    var multInv = MultiplicativeInverse(x, m);

    // HashSet is used to hold the obfuscated value so we can ensure that no duplicates occur.
    var nums = new HashSet<long>();

    // Obfuscate each number from 1 to 100.
    // Show that the process can be reversed.
    // Show that no duplicates are generated.
    for (long i = 1; i <= 100; ++i)
    {
        var obfuscated = i * x % m;
        var original = obfuscated * multInv % m;
        Console.WriteLine("{0} => {1} => {2}", i, obfuscated, original);
        if (!nums.Add(obfuscated))
        {
            Console.WriteLine("Duplicate");
        }
    }    
}

private long MultiplicativeInverse(long x, long modulus)
{
    return ExtendedEuclideanDivision(x, modulus).Item1 % modulus;
}

private static Tuple<long, long> ExtendedEuclideanDivision(long a, long b)
{
    if (a < 0)
    {
        var result = ExtendedEuclideanDivision(-a, b);
        return Tuple.Create(-result.Item1, result.Item2);
    }
    if (b < 0)
    {
        var result = ExtendedEuclideanDivision(a, -b);
        return Tuple.Create(result.Item1, -result.Item2);
    }
    if (b == 0)
    {
        return Tuple.Create(1L, 0L);
    }
    var q = a / b;
    var r = a % b;
    var rslt = ExtendedEuclideanDivision(b, r);
    var s = rslt.Item1;
    var t = rslt.Item2;
    return Tuple.Create(t, s - q * t);
}

该程序的前几行输出是：

1 => 43 => 1
2 => 86 => 2
3 => 28 => 3
4 => 71 => 4
5 => 13 => 5
6 => 56 => 6
7 => 99 => 7
8 => 41 => 8
9 => 84 => 9
10 => 26 => 10

如果您要更改函数开头的m和x值以反映您的数字范围，这对您有用。而不是总是从 1 开始并抓住前 10% 或 20%，您可以从 50% 标记开始并从那里开始。或者使用一些技术来抓取每五个数字，或者其他什么，只要你的方法不会访问同一个数字两次。

如果您需要更多运行，只需更改该x值。

生成乘法逆（将其视为随机数生成器的种子）是一个 O(log n) 操作。之后，生成每个数字是 O(1)。

当然，如果您使用 10^20 范围内的数字，则必须修改代码以使用大整数类。