最小的非空有限集

Question

有了以下定义,我想证明引理 without_P

Variable n : nat.
Definition mnnat := {m : nat | m < n}.
Variable f : mnnat -> nat.

Lemma without_P : (exists x : mnnat, True) -> (exists x, forall y, f x <= f y).

引理without_P意味着:如果你知道(有限)集合mnnat不是空的,那么mnnat在映射f到之后必须存在一个元素,即所有元素中最小的元素mnnat.
我们知道mnnat是有限的,因为它有n-1数字,并且在证据的背景下,without_P我们也知道mnnat不是空的,因为前提(exists x : mnnat, True).
现在mnnat非空和有限的"自然/直觉"具有一些最小元素(在应用f其所有元素之后).

目前我被困在下面的那个地方,我想在那里进行归纳n,这是不允许的.

1 subgoal  
n : nat  
f : mnnat -> nat  
x : nat  
H' : x < n  
______________________________________(1/1)  

exists (y : nat) (H0 : y < n),
  forall (y0 : nat) (H1 : y0 < n),
  f (exist (fun m : nat => m < n) y H0) <= f (exist (fun m : nat => m < n) y0 H1)

我唯一的想法是断言这样一个函数的存在f' : nat -> nat:exists (f' : nat -> nat), forall (x : nat) (H0: x < n), f' (exist (fun m : nat => m < n) x H0) = f x在解决了这个断言后,我已经通过归纳证明了这个引理n.我怎样才能证明这个断言？

有没有办法证明"非空的,有限集合(在应用于f每个元素之后)具有最小"更直接？我现在的路径对于我的Coq技能来说似乎太难了.

Answer 1

我通过用引理(exists (f' : nat -> nat), forall (x : nat) (H0: x < n), f (exist (fun m : nat => m < n) x H0) = f' x).证明类似的断言找到了我的断言的证据。接下来的第一个断言几乎是微不足道的。 在我证明了这个断言之后，我可以向用户 larsr 做一个类似的证明，以证明 Lemma 。 (exists (f' : nat -> nat), forall x : mnnat, f x = f' (proj1_sig x)).f'exists
without_P

除了 的基本情况之外，我使用mod-Function 将 any 转换nat为nat更小的 then 。nn = 0

Lemma mod_mnnat : forall m,
  n > 0 -> m mod n < n.
Proof.
  intros.
  apply PeanoNat.Nat.mod_upper_bound.
  intuition.
Qed.

Lemma mod_mnnat' : forall m,
  m < n -> m mod n = m.
Proof.
  intros.
  apply PeanoNat.Nat.mod_small.
  auto.
Qed.

Lemma f_proj1_sig : forall x y,
  proj1_sig x = proj1_sig y -> f x = f y.
Proof.
  intros.
  rewrite (sig_eta x).
  rewrite (sig_eta y).
  destruct x. destruct y as [y H0].
  simpl in *.
  subst.
  assert (l = H0).
  apply proof_irrelevance. (* This was tricky to find. 
    It means two proofs of the same thing are equal themselves. 
    This makes (exist a b c) (exist a b d) equal, 
    if c and d prove the same thing. *)
  subst.
  intuition.
Qed.


(* Main Lemma *)
Lemma f'exists :
  exists (ff : nat -> nat), forall x : mnnat, f x = ff (proj1_sig x).
Proof.
  assert (n = 0 \/ n > 0).
  induction n.
  auto.
  intuition.
  destruct H.
  exists (fun m : nat => m).
  intuition. destruct x. assert (l' := l). rewrite H in l'. inversion l'.
  unfold mnnat in *.

  (* I am using the mod-function to map (m : nat) -> {m | m < n} *)
  exists (fun m : nat => f (exist (ltn n) (m mod n) (mod_mnnat m H))).
  intros.
  destruct x.
  simpl.
  unfold ltn.
  assert (l' := l).
  apply mod_mnnat' in l'.

  assert (proj1_sig (exist (fun m : nat => m < n) x l) = proj1_sig (exist (fun m : nat => m < n) (x mod n) (mod_mnnat x H))).
  simpl. rewrite l'.
  auto.
  apply f_proj1_sig in H0.
  auto.
Qed.