为什么小于1的最大IEEE浮点可表示数字与机器epsilon的一半相差？

Question

我们可以将1.0表示为2 ^ 0 x 1.0,将小于1.0的最大可表示数表示为k,其中k = 2 ^ 0 x 0.111 ....... 1截断为拟合.

然后差值或ulp为1.0 - k = 2 ^ 0 x 0.00000 ..... 1.

与机器epsilon不同,我们有N epsilon = 2 ^ 0 x 1.000000 .... 1 - 2 ^ 0 x 1.000 = 2 ^ 0 x 0.000 ..... 1？

为什么正确的值是一半？

另外,如何计算除1.0以外的值的ulp？

Answer 1

有限浮点数表示为符号(+或 - ),固定数n + 1的数字d ₀,d _-1,d _-2,d _{- n},在某些基数b和指数e中,这样表示的数字是符号 d ₀ .d _-1 d _-2 ... d _{- n} × b ^e.对于这个答案,我们将符号设为+,b为2.

有了这种表示:

• 1是+ 1.00 ... 0×2 ⁰.
• 下一个大于1的数字是+ 1.00 ... 1×2 ⁰.由于d _{- n}数字增加1,它超过1乘以2 ^{0- n}.
• 低于1的下一个数字是+ 1.11 ... 1×2 ^-1.注意指数减少了.这意味着它的d _{- n}数字实际上具有值2 ^{-1- n}.因此它与1仅相差2 ^{-1- n}而不是2 ^{0- n}.

对于任何正常的浮点数,ULP是b ^{e - n}.然而,浮点格式的下限附近,IEEE 754具有低于正常数字和ULP被钳位到值b ^{额敏 - ñ}.