使用 python 线性拟合中的误差传播

Question

假设我对某个因变量y相对于某个自变量进行了多次测量x。我还记录了每次测量的不确定度dy。作为一个例子，这可能看起来像

import numpy as np
x = np.array([1, 2, 3, 4])
y = np.array([4.1, 5.8, 8.1, 9.7])
dy = np.array([0.2, 0.3, 0.2, 0.4]) 

现在假设我希望测量值遵循线性关系y = mx + b，并且我想确定y_umn某些未测量的 x 值的y 值x_unm。如果不考虑错误，我可以很容易地在 Python 中执行线性拟合：

fit_params, residuals, rank, s_values, rcond = np.polyfit(x, y, 1, full=True)
poly_func = np.poly1d(fit_params)

x_unm   # The unmeasured x value
y_unm = poly_func(x_unm)  # The unmeasured x value

我对这种方法有两个问题。首先是np.polyfit没有包含每个点的错误。其次，我不知道不确定性y_unm是什么。

有谁知道如何使数据与不确定性相匹配，从而使我能够确定 的不确定性y_unm？

Answer 1

这是一个可以通过分析来完成的问题，但这可能更适合作为数学/统计讨论。例如，请参阅（在许多来源中）：

https://www.che.udel.edu/pdf/FittingData.pdf

拟合误差可以通过分析计算。但值得注意的是，在考虑测量误差时，拟合本身是不同的。

在 python 中，我不确定处理错误的内置函数，但这里是使用 scipy.optimize.fmin 进行卡方最小化的示例

#Calculate Chi^2 function to minimize
def chi_2(params,x,y,sigy):
    m,c=params
    return sum(((y-m*x-c)/sigy)**2)

data_in=(x,y,dy)
params0=[1,0]

q=fmin(chi_2,params0,args=data_in)

为了进行比较，我使用了这个、您的 Polyfit 解决方案和解析解决方案，并为您提供的数据进行了绘制。

给定技术的参数结果：

与 fmin 加权卡方：m=1.94609996 b=2.1312239

解析： m=1.94609929078014 b=2.1312056737588647

Polyfit：m=1.91 b=2.15

对给定数据进行线性拟合

这是完整的代码：

import numpy as np
from scipy.optimize import fmin
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.array([1, 2, 3, 4])
y = np.array([4.1, 5.8, 8.1, 9.7])
dy = np.array([0.2, 0.3, 0.2, 0.4]) 

#Calculate Chi^2 function to minimize
def chi_2(params,x,y,sigy):
    m,c=params
    return sum(((y-m*x-c)/sigy)**2)

data_in=(x,y,dy)
params0=[1,0]

q=fmin(chi_2,params0,args=data_in)

#Unweighted fit to compare

a=np.polyfit(x,y,deg=1)

#Analytic solution
sx=sum(x/dy**2)
sx2=sum(x**2/dy**2)
s1=sum(1./dy**2)
sy=sum(y/dy**2)
sxy=sum(x*y/dy**2)

ma=(s1*sxy-sx*sy)/(s1*sx2-sx**2)
ba=(sx2*sy-sx*sxy)/(sx2*s1-sx**2)

xplt=np.linspace(0,5,100)
yplt1=xplt*q[0]+q[1]


yplt2=xplt*a[0]+a[1]

yplt3=xplt*ma+ba

plt.figure()
plt.plot(xplt,yplt1,label='Error Weighted',color='black')
plt.plot(xplt,yplt2,label='Non-Error Weighted',color='blue')
plt.plot(xplt,yplt3,label='Error Weighted Analytic',linestyle='--',color='red')
plt.errorbar(x,y,yerr=dy,fmt='ko')
plt.legend()
plt.show()