scikit学习中的多目标岭回归如何工作？

Question

我正在努力理解以下内容：

Scikit-learn 为 Ridge Regression 提供了多输出版本，只需交出一个二维数组 [n_samples, n_targets]，但它是如何实现的？

http://scikit-learn.org/stable/modules/generated/sklearn.linear_model.Ridge.html

假设每个目标的每个回归都是独立的是否正确？在这些情况下，我如何调整它以对每个回归使用单独的 alpha 正则化参数？如果我使用 GridSeachCV，我将不得不交出一个可能的正则化参数矩阵，或者这将如何工作？

提前致谢 - 我已经搜索了几个小时，但找不到有关此主题的任何内容。

Answer 1

我会试一试，因为我一直在为我自己的工作研究这个。我会将问题分解为部分，以便您只能查看您感兴趣的部分：

Q1：多输出岭回归中每个目标（又名输出）的回归是独立的吗？

A1：我认为具有 M 个输出的典型多输出线性回归是相同的线性回归M个独立的单一输出。我认为情况就是这样，因为多输出情况的普通最小二乘法的表达式与 M 个独立的单输出情况（的总和）的表达式相同。为了激发这一点，让我们考虑一个没有正则化的愚蠢的双变量输出案例。

让我们考虑两个列向量输入 x ₁和x ₂，以及相应的权重向量w ₁和w ₂。

这给了我们两个单变量 输出，y ₁ = x ₁ w ₁ ^T + e ₁和 y ₂ = x ₂ w ₂ ^T + e ₂，其中 es 是独立误差。

平方误差的总和写为：

e ₁ ² + e ₂ ² = (y ₁ - x ₁ w ₁ ^T ) ² + (y ₂ - x ₂ w ₂ ^T ) ²

我们可以看到，这只是两个独立回归的平方误差之和。现在，为了优化我们对权重进行微分并设置为零。由于y ₁不依赖w ₂，对于y ₂和w ₁反之亦然，因此可以对每个目标独立地进行优化。

我在这里考虑了一个样本作为说明，但更多样本没有太大变化。你可以自己写出来。在表单中添加惩罚项 | w ^ ₁ | 或 | w ^ ₂ | 也不会改变这一点，因为w ₂仍然不依赖于 y ₁，反之亦然，对于 y ₂和w ₁。

好的，这就是可以让您获得 C- 的证明（有一位慷慨的教授）。就这反映 sklearn 而言，手动实现独立回归和内置的多输出支持将给出相同的结果。所以让我们用一些代码来检查一下（我正在使用 py2.7 和 Jupyter）：

我们需要的东西

 import numpy as np
 import matplotlib.pyplot as plt
 from sklearn import linear_model, model_selection

设置数据

## set up some test data
# T samples, K features, M outputs (aka targets)
T = 1000
K = 100
M = 500

#get the samples from independent, multivariate normal
means_X = np.zeros(K)
cov_X = np.identity(K) 
X = np.random.multivariate_normal(means_X,cov_X,T)

#Make up some random weights. 
#Here I use an exponential form since that means some would be quite small, and thus regularization is likely to help
#However for the purposes of the example it doesn't really matter

#exponential weights
W = 2.0 ** np.random.randint(-10,0,M * K) 

#shape into a weight matrix correctly
W = W.reshape((K,M))

# get the ouput - apply linear transformation
Y = np.matmul(X, W)

# add a bit of noise to the output
noise_level = 0.1
noise_means = np.zeros(M)
noise_cov = np.identity(M) 

Y_nse = Y + noise_level * np.random.multivariate_normal(noise_means,noise_cov,T)

# Start with one alpha value for all targets 
alpha = 1

使用内置多输出支持的 sklearn

#%%timeit -n 1 -r 1
# you can uncomment the above to get timming but note that this runs on a seperate session so 
# the results won't be available here 
## use built in MIMO support 

built_in_MIMO = linear_model.Ridge(alpha = alpha)
built_in_MIMO.fit(X, Y_nse)

为输出独立运行优化

# %%timeit -n 1 -r 1 -o
## manual mimo
manual_MIMO_coefs = np.zeros((K,M))

for output_index in range(M):
    
    manual_MIMO = linear_model.Ridge(alpha = alpha)
    manual_MIMO.fit(X, Y_nse[:,output_index]) 
    manual_MIMO_coefs[:,output_index] = manual_MIMO.coef_

比较估计值（不包括地块）

manual_MIMO_coefs_T = manual_MIMO_coefs.T

## check the weights. Plot a couple
check_these_weights = [0, 10]
plt.plot(built_in_MIMO.coef_[check_these_weights[0],:],'r')
plt.plot(manual_MIMO_coefs_T[check_these_weights[0],:], 'k--')

# plt.plot(built_in_MIMO.coef_[check_these_weights[1],:],'b')
# plt.plot(manual_MIMO_coefs_T[check_these_weights[1],:], 'y--')

plt.gca().set(xlabel = 'weight index', ylabel = 'weight value' )
plt.show()

print('Average diff between manual and built in weights is %f ' % ((built_in_MIMO.coef_.flatten()-manual_MIMO_coefs_T.flatten()) ** 2).mean())


## FYI, our estimate are pretty close to the orignal too, 
plt.clf()
plt.plot(built_in_MIMO.coef_[check_these_weights[1],:],'b')
plt.plot(W[:,check_these_weights[1]], 'y--')
plt.gca().set(xlabel = 'weight index', ylabel = 'weight value' )
plt.legend(['Estimated', 'True'])

plt.show()

print('Average diff between manual and built in weights is %f ' % ((built_in_MIMO.coef_.T.flatten()-W.flatten()) ** 2).mean())

输出为（此处不包括绘图）

Average diff between manual and built in weights is 0.000000 

Average diff between manual and built in weights is 0.000011 

所以我们看到内置的 sklearn 估计与我们的手动估计相同。然而，内置的要快得多，因为它使用矩阵代数来解决整个问题，而不是我在这里使用的循环（对于 Ridge 正则化的矩阵公式，请参阅 Tikhonov 正则化的 wiki）。您可以通过取消注释上面的 %%timeit 魔法来自己检查一下）

Q2：我们如何为每个回归使用单独的 alpha 正则化参数？

A2：sklearn Ridge 为每个输出（目标）接受不同的正则化。例如继续上面的代码，为每个输出使用不同的 alpha：

# now try different alphas for each target.
# Simply randomly assign them between min and max range 
min_alpha = 0
max_alpha = 50
alphas = 2.0 ** np.random.randint(min_alpha,max_alpha,M)
built_in_MIMO = linear_model.Ridge(alpha = alphas)
built_in_MIMO.fit(X, Y_nse) 

如果将其与 M 个独立回归的手动实现进行比较，每个回归都有自己的 alpha：

manual_MIMO_coefs = np.zeros((K,M))

for output_index in range(M):
    
    manual_MIMO = linear_model.Ridge(alpha = alphas[output_index])
    manual_MIMO.fit(X, Y_nse[:,output_index]) 
    manual_MIMO_coefs[:,output_index] = manual_MIMO.coef_

你得到相同的结果：

manual_MIMO_coefs_T = manual_MIMO_coefs.T

## check the weights. 
print('Average diff between manual and built in weights is %f ' % ((built_in_MIMO.coef_.flatten()-manual_MIMO_coefs_T.flatten()) ** 2).mean())

Average diff between manual and built in weights is 0.000000 

所以这些都是一样的。

然而，在这种情况下，性能在很大程度上取决于求解器（正如@Vivek Kumar 的直觉）。

默认情况下，Ridge.fit() 使用 Cholesky 分解（至少对于非稀疏数据），在 github 上查找代码（https://github.com/scikit-learn/scikit-learn/blob 中的_solve_cholesky /master/sklearn/linear_model/ridge.py），我看到当为每个目标单独选择 alpha 时，sklearn 实际上确实分别适合它们。我不知道这是否是 Cholesky 固有的，或者只是一个实现的事情（我有一种感觉是后者）。

但是，对于不同的求解器，例如基于 SVD 的 (_solve_svd())，代码似乎已经将不同的 alpha 合并到问题的矩阵公式中，因此整个过程只运行一次。这意味着当为每个输出单独选择 alpha 并且有很多输出时，svd 求解器可以快得多。

Q3：如何使用GridSeachCV？我是否交出可能的正则化参数矩阵？

A3：我没有使用内置的网格搜索，因为它不太适合我的问题。但是，通过上面的解释，实现这一点很简单；只需使用 sklearn.model_selection.KFold() 或类似方法获得一些 CV 折叠，然后使用不同的 alpha 训练每个折叠：

from sklearn import metrics, model_selection
# just two folds for now
n_splits = 2
#logarithmic grid
alphas = 2.0 ** np.arange(0,10) 
kf = model_selection.KFold(n_splits=n_splits)

# generates some folds
kf.get_n_splits(X)

# we will keep track of the performance of each alpha here
scores = np.zeros((n_splits,alphas.shape[0],M))

#loop over alphas and folds
for j,(train_index, test_index) in enumerate(kf.split(X)):
    
    for i,alpha in enumerate(alphas):
        
        cv_MIMO = linear_model.Ridge(alpha = alpha)
        cv_MIMO.fit(X[train_index,:], Y_nse[train_index,:]) 
        cv_preds = cv_MIMO.predict(X[test_index,:])
        scores[j,i,:] = metrics.r2_score(Y_nse[test_index,:], cv_preds, multioutput='raw_values')

## mean CV score  
mean_CV_score = scores.mean(axis = 0)
# best alpha for each target
best_alpha_for_target = alphas[np.argmax(mean_CV_score,axis = 0)]

我写的很匆忙，所以仔细检查一下。请注意，我们需要使用 metric 模块，因为内置的 Ridge.score() 对所有目标求平均值，我们在这里不想要。通过使用 multioutput='raw_values' 选项，我们保留了每个目标的原始值。

希望有帮助！