e ^ x的无限和收敛到不正确的值

Question

我正在尝试实现一种不使用阶乘计算e ^ x的方法.我这样做是通过获得每两个连续项之间的比率,并通过将该比率乘以最后一个项来计算下一个项.所有这些都被添加到结果总和中,直到该项足够小到无关紧要.

这适用于x的小值.对于x的"极端"值,这会因某种原因而中断.我试过-50,它应该打印1.9287498e-22(固定格式).我得到的是GNU GCC中的-56676.4235303065和VC++中的2041.8329628977.两者都是错误的.这是我的代码:

#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cmath>
using namespace std;

int main()
{
    double x;
    cout << fixed << setprecision(10) ;
    cout << "Enter x: " << endl;
    cin >> x;
    double sum = 0;
    long long i = 0;
    double term = 1;
    do
    {
        sum += term;
        term *= (x / (++i));
    } while (fabs(term) > 1e-10);
    cout << sum << endl;
}

这里有我的问题:导致这个错误只出现在x的大值上的问题是什么,我该如何解决这个错误？为什么GNU GCC和VC++ 2017会得到完全不同的答案？

Answer 1

这个求和中最大的项比精度为大10个数量级double:~ 2.92e+20与double13 sf左右相比.这些术语中的误差范围本身比您的求和结果大约30个数量级.

因此,你的系列没有正确收敛也就不足为奇了,因为连续的术语(符号相反)可能不会被理论量取消.即使使用一些数字技巧,例如Kahan-Neumaier总和并在添加之前对术语进行排序,结果仍然只能减少到~6000.请注意,x由于连续的术语不需要取消,因此不会出现这种情况.

克服这种情况的一种方法是对其施加一个小的下限x,并使用乘方数乘以扩展到正确的值x.

更新:上述方法的实现:

// integer exponentiation by squaring (won't explain here)
double pow_square(double x, unsigned a)
{
   double r = 1.0;
   while (a > 0)
   {
      if (a % 2 == 1)
      {
         a--;
         r *= x;
      }
      a /= 2;
      x *= x;
   }
   return r;
}

// original method
double exp_original(double x, double e)
{
   double sum = 0.0;
   unsigned i = 0;
   double term = 1.0;
   do
   {
      sum += term;
      term *= (x / (++i));
   } while (fabs(term) > e);
   return sum;
}

// new adaptive method
double exp_new(double x, double e)
{
   static const double min_X = -3;

   // if within limit, simply use original function
   if (x >= min_X)
      return exp_original(x, e);

   // compute smallest possible scaling coefficient
   unsigned s = (unsigned)(x / (-min_X) + 0.5);
   double p = exp_original(x / s, e);
   return pow_square(p, s);
}

对一系列大x值的测试证实了新方法更好地处理极值(负)情况:

x    | exp (C-library)    exp_original       exp_new
-------------------------------------------------------------
-10  | 4.53999297625e-05  4.53998989141e-05  4.53999299001e-05
-30  | 9.35762296884e-14  6.10299992426e-06  9.35762292245e-14
-50  | 1.92874984796e-22  2041.8329629       1.92874983803e-22
-60  | 8.7565107627e-27   722745700.93       8.75651067587e-27
-80  | 1.80485138785e-35  2.45082011705e+17  1.80485137011e-35
-100 | 3.72007597602e-44  8.1446527451e+25   3.72007589785e-44
-150 | 7.17509597316e-66  -9.14622659954e+47 7.1750957953e-66
-200 | 1.38389652674e-87  7.69097143891e+69  1.38389648613e-87