使用numpy重塑执行三阶张量展开操作

Question

我试图在numpy python中使用reshape命令在第3级/模式张量上执行展开操作。我不确定我在做什么是否正确。我在网上找到了此张量分解。还发现以下代码：作者在其中编写的SVD图像压缩：

彩色图像在python中表示为3维numpy数组-三维表示颜色值（红色，绿色，蓝色）。但是，svd方法适用于二维矩阵。因此，我们必须找到一种将3维数组转换为2维数组，应用svd并将其重新构造回3维数组的方法。有两种方法可以做到这一点。我们将在下面显示这两种方法。

• 重塑方法
• 分层方法

重塑方法以压缩彩色图像：

该方法涉及使用numpy的reshape方法将图像数组的第三维展平为第二维。

image_reshaped = image.reshape((original_shape[0],original_shape[1]*3))

我正在尝试了解重塑方法。在我看来，这就像是对3级/模式张量进行的展开操作。可以说我有一个数组，它是尺寸NxMxP，该模式会如果我用下面蟒指令I被展开沿着：reshape(N, M*P)？

这是我测试展开操作的方式：

import cv2
import numpy as np

def m_unfold(thrd_order_tensor,m):
matrix = []
if m == 1:
    matrix = thrd_order_tensor.reshape((thrd_order_tensor.shape[0], thrd_order_tensor.shape[1]*3))
    #matrix = np.hstack([thrd_order_tensor[:, :, i] for i in range(thrd_order_tensor.shape[2])])
if m == 2:
    matrix = thrd_order_tensor.reshape((thrd_order_tensor.shape[1], thrd_order_tensor.shape[0]*3))
    #matrix = np.hstack([thrd_order_tensor[:, :, i].T for i in range(thrd_order_tensor.shape[2])])
if m == 3:
    matrix = thrd_order_tensor.reshape((3, thrd_order_tensor.shape[0]*thrd_order_tensor.shape[1]))
    #matrix = np.vstack([thrd_order_tensor[:, :, i].ravel() for i in range(thrd_order_tensor.shape[2])])
return matrix

def fold(matrix, os):
#os is the original shape
tensor = matrix.reshape(os)
return tensor

im = cv2.imread('target.jpg')
original_shape = im.shape
image_reshaped = m_unfold(im,3)
U, sig, V = LA.svd(image_reshaped, full_matrices=False)
img_restrd = np.dot(U[:,:], np.dot(np.diag(sig[:]), V[:,:]))
img_restrd = fold(img_restrd,original_shape)
img_restrd = img_restrd.astype(np.uint8)
cv2.imshow('image',img_restrd)
cv2.waitKey(0)
cv2.destroyAllWindows()

Answer 1

TL; DR：假设您使用的是元素的默认（C-）排序，则tensor.reshape（N，M * P）对应于根据例如TensorLy中使用的定义的张量沿其第一个模式的展开。

长答案更加微妙。关于展开的定义不止一个。一般而言，n模式展开对应于i）将第n个模式移至开头，以及ii）将结果重塑为矩阵。重塑的完成方式为您提供了不同的展开定义。

首先是一点术语：沿着张量的第n模（即尺寸）的光纤是通过改变张量的第n个折射率而保持所有其他固定不变而获得的。对于矩阵，我们都将纤维称为行（仅改变第一个索引）或列（仅改变第二个索引）。这个概念可以推广到任何阶数的张量（对于三阶张量，沿着第三模式的光纤也称为管）。

张量的n模式展开是通过将纤维沿着张量的n模式堆叠以获得矩阵而获得的。展开的各种定义随这些纤维的顺序而变化。

现在，在存储张量的过程中：将元素作为一个长矢量存储在内存中，从最后到第一维，反之亦然。这些称为行优先（或C）和列优先（或Fortran）排序。使用reshape张量时，通常会读取元素在内存中组织的形式。

最确定的定义在Kolda和Bader关于张量分解的开创性工作中得到了普及。他们在2009年SIAM REVIEW上发表的论文Tensor Decompositions and Applications非常出色。它们对展开的定义reshape与具有元素的Fortran顺序的张量的a 相对应。这是Matlab中实现其方法的默认设置。

既然您提到您使用的是Python，我将假设您使用的是NumPy，以及元素的默认顺序（即C顺序）。您可以使用不同的展开定义来匹配该顺序，也可以使用稍微复杂一些的功能来展开：

import numpy as np

def f_unfold(tensor, mode=0):
    """Unfolds a tensors following the Kolda and Bader definition

        Moves the `mode` axis to the beginning and reshapes in Fortran order
    """
    return np.reshape(np.moveaxis(tensor, mode, 0), 
                      (tensor.shape[mode], -1), order='F')

或者，就像我们在TensorLy中所做的那样，您可以使用与元素的C顺序匹配的定义。

只要您保持一致，使用哪个定义就无关紧要（尽管在某些情况下，各种定义会导致稍微不同的属性）。

最后，回到您的第一个问题，如果您有一个大小为（N，M，P）的张量表示为numpy数组，且元素的顺序为C，那么reshape(N, M*P)您将沿着该张量的第一个模式展开使用展开的“ TensorLy”定义。如果要展开“ Kolda＆Bader”版本，可以使用f_unfold上面定义的功能。

请注意，无论使用什么定义，如果要沿第n个模式展开，则首先必须在重塑（例如使用np.moveaxis(tensor, n, 0)）之前将此模式放在开头。

如果您对细节感兴趣，我写了一篇关于张量展开定义的博客文章。