为什么浮点数的有效数是 7 或 6

Question

我在维基百科日志 2 ²⁴ = 7.22 中看到了这一点 。

我不知道为什么我们应该计算 2^24 以及为什么我们应该取 log10......我真的很需要你的帮助。

Answer 1

为什么浮点数的有效数是 7 或 6 (?)

考虑使用鸽巢原理的一些想法：

1. binary32 float可以精确编码大约 2 ^{32 个}不同的数字。可以在文本中写入的数字 42.0, 1.0, 3.1415623... 是无限的，即使我们将自己限制在 -10 ³⁸ ... +10 ³⁸这样的范围内。任何时间代码都有一个文本值，例如，它被编码到附近的，这可能不是完全相同的文本值。问题是：我们可以编码多少个数字并仍然保持独特？^{0.1ffloatfloat}
2. 对于各种 2 的幂范围，通常对2 ²³ (8,388,608) 个值进行线性编码。
3. 在 [1.0 ... 2.0) 范围内，2 ²³ (8,388,608) 个值被线性编码。
4. 在 [2 ³³或 8,589,934,592 ... 2 ³⁴或 17,179,869,184)范围内，2 ²³ (8,388,608) 个值再次被线性编码：彼此相距 1024.0。在子范围 [9,000,000,000 和 10,000,000,000) 中，大约有 976,562 个不同的值。

把这个放在一起...

5. 作为文本，范围 [1.000_000 ... 2.000_000)，使用 1 个前导数字和 6 个尾随数字，有 1,000,000 个不同的值。Per #3，在同一范围内，有 8,388,608 个不同的float存在，允许每个文本值映射到不同的float. 在这个范围内，我们可以使用 7 位数字。

6. 作为文本，范围 [9,000,000*10 ³和 10,000,000*10 ³ )，使用 1 个前导数字和 6 个尾随数字，有 1,000,000 个不同的值。根据 #4，在同一范围内，不同的float值少于 1,000,000 个。因此，一些十进制文本值将转换为相同的float. 在这个范围内，我们可以使用 6 位而不是 7 位数字进行特殊转换。

典型的最坏情况float是6 位有效数字。要找到您 的限制float：

#include <float.h>
printf("FLT_DIG = %d\n", FLT_DIG);  // this commonly prints 6

...不知道为什么我们应该计算 2^24 以及为什么我们应该取 log10

2^24 是对 commonfloat及其 24 位二进制精度的概括，对应于具有 7.22... 数字的奇特十进制系统。我们使用log10将二进制 文本float与十进制文本进行比较。

2 ²⁴ == 10 ^7.22...

然而，我们应该不采取2 ²⁴。让我们看看FLT_DIGC11dr §5.2.4.2.2 11 中是如何定义的：

十进制数字的数量，q，这样任何具有q十进制数字的浮点数都可以四舍五入为具有p基数b数字的浮点数，然后再返回而不更改为q十进制数字，

p log ₁₀ b ........如果 b 是 10 的幂
?( p ? 1) log ₁₀ b ?... 否则

注意“log ₁₀ 2 ²⁴ ”与“24 log ₁₀ 2”相同。

作为 a float，值在 2 的幂之间线性分布，如#2,3,4 所示。

作为文本，值在 10 的幂之间线性分布，例如 [1.000000 ... 9.999999]*10 ^{some_exponent}的 7 个有效数字值。

这两组的转换发生在不同的值。1,2,4,8,16,32... 与 1,10,100, ... 在确定最坏情况时，我们从 24 位中减去 1以解决未对齐的问题。

?( p ? 1) log ₁₀ b ? --> floor((24 ? 1) log10(2))--> floor(6.923...)--> 6.

如果我们float使用的基数是 10、100 或 1000，而不是非常常见的 2，那么这两个组的转换发生在相同的值上，我们不会减去一个。