矩阵乘法的符号符号

Question

在 numpy 中定义矩阵和点积是标准的，如下所示

import numpy as np
a = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
b = np.array([[7, 8, 9, 10], [11, 12, 13, 14], [15, 16, 17, 18]])
print(a.shape)
print(b.shape)
print(a.dot(b).shape)

按预期输出：

(2, 3)
(3, 4)
(2, 4)

但令我惊讶的是，以下内容在 sympy 中失败

import sympy as sp
a = sp.Matrix([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
b = sp.Matrix([[7, 8, 9, 10], [11, 12, 13, 14], [15, 16, 17, 18]])
print(a.shape)
print(b.shape)
print(a.dot(b).shape)

哪个输出

(2, 3)
(3, 4)

---------------------------------------------------------------------------
ShapeError                                Traceback (most recent call last)
<ipython-input-30-50c934c7fbaf> in <module>()
      4 print(a.shape)
      5 print(b.shape)
----> 6 print(a.dot(b).shape)

~/miniconda3/lib/python3.6/site-packages/sympy/matrices/matrices.py in dot(self, b)
   2389                 mat = mat.T
   2390                 b = b.T
-> 2391             prod = flatten((mat * b).tolist())
   2392             if len(prod) == 1:
   2393                 return prod[0]

~/miniconda3/lib/python3.6/site-packages/sympy/core/decorators.py in binary_op_wrapper(self, other)
    130                     else:
    131                         return f(self)
--> 132             return func(self, other)
    133         return binary_op_wrapper
    134     return priority_decorator

~/miniconda3/lib/python3.6/site-packages/sympy/matrices/common.py in __mul__(self, other)
   2006             if self.shape[1] != other.shape[0]:
   2007                 raise ShapeError("Matrix size mismatch: %s * %s." % (
-> 2008                     self.shape, other.shape))
   2009 
   2010         # honest sympy matrices defer to their class's routine

ShapeError: Matrix size mismatch: (3, 2) * (4, 3).

这让我很困惑！

为什么 numpy 和 sympy 不一致？

为什么我在 sympy 的文档中找不到这种行为的警告？

如何在 sympy 中正确计算两个矩阵的点积？

我可以建议 sympy 的文档中有一个关于 numpy 和 sympy 之间语法差异的条目。（我很乐意做出贡献，但我不知道这些差异）

Answer 1

我将在 Github 上发布来自 SymPy 开发人员的回复：

作为一般规则，在 NumPy 中，所有操作都对数组进行向量化。在 SymPy 中，操作执行它们通常的数学意义。这意味着 SymPy 通常更严格地保持数学上的“纯”。

最明显的第一个：在 NumPy 中，一切都是数字。函数接受一个数字或数字数组并产生一个数字或数字数组。在 SymPy 中，一切都是象征性的。表达式可以使用默认情况下保持未计算的符号变量。例如， np.exp(np.pi) 产生一个数字，但 sympy.exp(sympy.pi) 产生一个未计算的表达式（可以用 sympy.exp(sympy.pi).evalf() 计算为一个数字） .

通常，SymPy 函数不适用于 NumPy 数组，而 NumPy 函数不适用于 SymPy 表达式。如果您想混合使用 SymPy 和 NumPy，建议使用 Lambdify（从仅使用 SymPy 函数的 SymPy 表达式开始，然后使用 lambdify 将其转换为等效的 NumPy 函数，并在具有 NumPy 数值类型的 NumPy 数组上使用它）。我已经在 StackOverflow 上多次讨论过这个问题。

'*' 是矩阵乘法。请注意，@（Python 3.5+）在 NumPy 和 SymPy 中进行矩阵乘法。

sympy.Matrix 总是排名 2。NumPy 数组可以是任何排名。请注意，NumPy 中的 dot/@ 可用于任何秩数组。rank 1 数组有一些奇怪的行为（它基本上将它们视为列向量或行向量，具体取决于上下文）。

在 SymPy 中的矩阵上调用数学函数，如果它有效，则执行该函数的分析矩阵估值。例如，exp(M) 计算矩阵指数。Matrix.applyfunc 可用于按元素应用函数。在 NumPy 中，exp(A) 取 A 的每个元素的指数（使用 scipy.linalg.expm 取 NumPy 数组的矩阵指数）。

np.dot 做矩阵乘法。在 SymPy 中，dot 做点积（需要两个 1xn 或 nx1 矩阵并产生一个标量）。如果参数不是 1xn，则 sympy.dot 错误（实际上当前在 master 中会给出弃用警告）。

1x1 矩阵不被视为与 SymPy 中的标量相同的东西。1 + Matrix([[1]]) 是一个错误。

Answer 2

SymPy 中的矩阵乘积计算为a*b。

SymPy 中的方法dot旨在允许计算表示向量的两个矩阵的点积，例如：

>>> sp.Matrix([1, 2]).dot(sp.Matrix([3, 4]))
11

是两个列向量的点积。这涉及到一个转置。

返回 Matrix self 和 b 的点积，放宽兼容维度的条件：如果行数或列数与 b 的长度相同，则返回点积。如果 self 是行或列向量，则返回标量。否则，返回结果列表（在这种情况下，self 中的列数必须与 b 的长度匹配）。