Keras中的二阶导数

Question

对于 NN 的自定义损失，我使用该函数 . u，给定一对 (t,x)，间隔中的两个点，是我的神经网络的输出。问题是我被困在如何使用K.gradient（K 是 TensorFlow 后端）计算二阶导数：

def custom_loss(input_tensor, output_tensor):
    def loss(y_true, y_pred):

        # so far, I can only get this right, naturally:            
        gradient = K.gradients(output_tensor, input_tensor)

        # here I'm falling badly:

        # d_t = K.gradients(output_tensor, input_tensor)[0]
        # dd_x = K.gradient(K.gradients(output_tensor, input_tensor),
        #                   input_tensor[1])

        return gradient # obviously not useful, just for it to work
    return loss  

我所有基于 的Input(shape=(2,))尝试都是上面代码片段中注释行的变体，主要是试图找到结果张量的正确索引。

果然，我对张量的工作原理缺乏了解。顺便说一句，我知道在 TensorFlow 本身中我可以简单地使用tf.hessian，但我注意到使用 TF 作为后端时它不存在。

Answer 1

为了让一个K.gradients()层像这样工作，你必须将它包含在一个Lambda()层中，否则不会创建一个完整的 Keras 层，并且你不能链接它或训练它。所以这段代码将工作（测试）：

import keras
from keras.models import *
from keras.layers import *
from keras import backend as K
import tensorflow as tf

def grad( y, x ):
    return Lambda( lambda z: K.gradients( z[ 0 ], z[ 1 ] ), output_shape = [1] )( [ y, x ] )

def network( i, d ):
    m = Add()( [ i, d ] )
    a = Lambda(lambda x: K.log( x ) )( m )
    return a

fixed_input = Input(tensor=tf.constant( [ 1.0 ] ) )
double = Input(tensor=tf.constant( [ 2.0 ] ) )

a = network( fixed_input, double )

b = grad( a, fixed_input )
c = grad( b, fixed_input )
d = grad( c, fixed_input )
e = grad( d, fixed_input )

model = Model( inputs = [ fixed_input, double ], outputs = [ a, b, c, d, e ] )

print( model.predict( x=None, steps = 1 ) )

def network模型f( x ) = log( x + 2 ) at x = 1。def grad是进行梯度计算的地方。此代码输出：

[数组([1.0986123], dtype=float32), 数组([0.33333334], dtype=float32), 数组([-0.11111112], dtype=float32), 数组([0.07407408], dtype=float[32), 数组0.07407409]，dtype=float32)]

这是log( 3 ) , ⅓ , -1 / 3 ² , 2 / 3 ³ , -6 / 3 ⁴的正确值。

参考 TensorFlow 代码

作为参考，普通 TensorFlow 中的相同代码（用于测试）：

import tensorflow as tf

a = tf.constant( 1.0 )
a2 = tf.constant( 2.0 )

b = tf.log( a + a2 )
c = tf.gradients( b, a )
d = tf.gradients( c, a )
e = tf.gradients( d, a )
f = tf.gradients( e, a )

with tf.Session() as sess:
    print( sess.run( [ b, c, d, e, f ] ) )

输出相同的值：

[1.0986123, [0.33333334], [-0.11111112], [0.07407408], [-0.07407409]]

黑森州

tf.hessians()确实返回二阶导数，这是链接 two 的简写tf.gradients()。hessians不过Keras 后端没有，因此您必须将两个K.gradients().

数值近似

如果由于某种原因上述方法均无效，那么您可能需要考虑在数值上近似二阶导数，并在较小的ε距离上取差值。这基本上将每个输入的网络增加了三倍，因此除了缺乏准确性之外，该解决方案还引入了严重的效率考虑。无论如何，代码（已测试）：

import keras
from keras.models import *
from keras.layers import *
from keras import backend as K
import tensorflow as tf

def network( i, d ):
    m = Add()( [ i, d ] )
    a = Lambda(lambda x: K.log( x ) )( m )
    return a

fixed_input = Input(tensor=tf.constant( [ 1.0 ], dtype = tf.float64 ) )
double = Input(tensor=tf.constant( [ 2.0 ], dtype = tf.float64 ) )

epsilon = Input( tensor = tf.constant( [ 1e-7 ], dtype = tf.float64 ) )
eps_reciproc = Input( tensor = tf.constant( [ 1e+7 ], dtype = tf.float64 ) )

a0 = network( Subtract()( [ fixed_input, epsilon ] ), double )
a1 = network(               fixed_input,              double )
a2 = network(      Add()( [ fixed_input, epsilon ] ), double )

d0 = Subtract()( [ a1, a0 ] )
d1 = Subtract()( [ a2, a1 ] )

dv0 = Multiply()( [ d0, eps_reciproc ] )
dv1 = Multiply()( [ d1, eps_reciproc ] )

dd0 = Multiply()( [ Subtract()( [ dv1, dv0 ] ), eps_reciproc ] )

model = Model( inputs = [ fixed_input, double, epsilon, eps_reciproc ], outputs = [ a0, dv0, dd0 ] )

print( model.predict( x=None, steps = 1 ) )

输出：

[数组（[1.09861226]），数组（[0.33333334]），数组（[-0.1110223]）]

（这只会得到二阶导数。）