正态分布的 Scipy MLE 拟合

Question

我试图采用此线程中提出的此解决方案来确定简单正态分布的参数。即使修改很小（基于维基百科），结果也很糟糕。有什么建议哪里出错了吗？

import math
import numpy as np
from scipy.optimize import minimize
import matplotlib.pyplot as plt

def gaussian(x, mu, sig):
    return 1./(math.sqrt(2.*math.pi)*sig)*np.exp(-np.power((x - mu)/sig, 2.)/2)

def lik(parameters):

    mu    = parameters[0]
    sigma = parameters[1]    
    n     = len(x)  
    L     = n/2.0 * np.log(2 * np.pi) + n/2.0 * math.log(sigma **2 ) + 1/(2*sigma**2) * sum([(x_ - mu)**2 for x_ in x ])

    return L



mu0    = 10
sigma0 = 2

x = np.arange(1,20, 0.1)
y = gaussian(x, mu0, sigma0)


lik_model = minimize(lik, np.array([5,5]), method='L-BFGS-B')


mu    = lik_model['x'][0]
sigma = lik_model['x'][1]

print lik_model

plt.plot(x, gaussian(x, mu, sigma), label = 'fit')
plt.plot(x, y, label = 'data')
plt.legend()

拟合的输出：

jac: 数组([2.27373675e-05, 2.27373675e-05])

消息：'收敛：REL_REDUCTION_OF_F_<=_FACTR*EPSMCH'

成功：正确

x: 数组([10.45000245, 5.48475283])

Answer 1

最大似然法用于将分布的参数拟合到据称是该分布的随机样本的一组值。在您的lik函数中，您x用来保存样本，但它x是一个已设置为 的全局变量x = np.arange(1,20, 0.1)。这绝对不是来自正态分布的随机样本。

因为您使用的是正态分布，所以您可以使用最大似然估计的已知公式来检查您的计算：mu 是样本均值，sigma 是样本标准差：

In [17]: x.mean()
Out[17]: 10.450000000000006

In [18]: x.std()
Out[18]: 5.484751589634671

这些值与您的调用结果minimize非常接近，因此看起来您的代码正在运行。

要修改您的代码以按照您期望的方式使用 MLE，x应该是一组据称是正态分布随机样本的值。请注意，您的数组y不是这样的示例。它是网格上概率密度函数 (PDF) 的值。如果将分布拟合到 PDF 样本是您的实际目标，您可以使用曲线拟合函数，例如scipy.optimize.curve_fit. 如果将正态分布参数拟合到随机样本实际上是您想要做的，那么为了测试您的代码，您应该使用一个输入，该输入是来自具有已知参数的分布的相当大的样本。在这种情况下，你可以这样做

x = np.random.normal(loc=mu0, scale=sigma0, size=20)

当我x在你的代码中使用这样的时候，我得到

In [20]: lik_model.x
Out[20]: array([ 9.5760996 ,  2.01946582])

正如预期的那样，解决方案中的值大约为 10 和 2。

（如果您x像我一样用于示例，则必须相应地更改绘图代码。）