当一个向量的方向未知时，两个向量之间的交点

Question

问题：我有两个向量。我知道一个向量的起点，它的方向，它的大小。我知道另一个向量的起点及其大小。我需要找到第二个向量的方向以及相交的位置。

   Vector A:                        Vector B:

Position = Known                   Position = Known  
Direction= Known                   Direction= UNKNOWN
Magnitude= Known                   Magnitude= Known

To Find: Point of intersection.

是否可以使用给定的参数找到交点？如果是，那么如何？

应用：我想根据他移动的速度找到一个玩家会被发现的位置，并在他被发现的那一刻向他发射子弹，同时考虑到子弹到达该虚拟目标所花费的时间位置。

Answer 1

继评论之后，我将在这里进行一次飞跃并直接回答您的最终问题。

假设玩家在初始时间处于一个点p并以速度移动v；你的枪就位q并以速度向任何方向发射子弹s：

OP 的长度是v?tQ的长度s?t。角度a由点积给出：

然后我们可以使用余弦规则来求解?t：

写在这个形式中，我们可以很容易地看到，这是一个二次方程，因此直接解决了?t使用二次式：

这里有几种情况我们需要考虑：

• v < s: 只需要取正根，否则我们会得到负时间。
• v > s和dot(PQ, s) < 0：子弹永远不会抓住玩家。
• v > s和dot(PQ, s) > 0：这次取负根，因为正根用于向后移动的玩家（更长的时间；这也是上图中所示的情况）。

?t从上面获得正确的值将使我们能够找到交点o，从而找到预期的方向d：

请注意，这d不是标准化的。此外，与角度方法不同，此解决方案也适用于 3D。