Matlab:对于偶数实函数,FFT复数结果,IFFT实际结果

Question

我正在测试Matlab中FFT和IFFT函数的有效性.

我可以将这些函数的输出与一个众所周知的数学事实进行比较:偶数,实数函数的傅里叶变换(如以0为中心的高斯),是另一个偶数,实数函数(FFT [真实,0居中高斯] =真实,0居中的高斯).这个事实应该适用于FFT和IFFT.

首先我制作网格:

nx = 256; % grid total pixel count
X = 500; % grid size (um)
dx = X/nx; %  grid spacing (um)
x = linspace(-nx/2,nx/2-1,nx)*dx; % x grid (um)

df = 1/(nx*dx); % spectral grid spacing (1/um)
f = linspace(-nx/2,nx/2-1,nx)*df; % f grid (1/um)

我制作了高斯:

A = 1; % magnitude (arbitrary units) 
x_fwhm = 7; % Full width at half maximum diameter (um)

x0 = x_fwhm/sqrt(2*log(2)); % 1/e^2 radius (um)
y = A*exp(-2*x.^2./(x0)^2); % Gaussian (arbitrary units) 

并使用FFT应用傅里叶变换:

yFFT = fftshift(fft(fftshift(y))); 

或者,使用IFFT:

yIFFT = fftshift(ifft(fftshift(y))); 

绘制结果:

IFFT做得很好:yIFFT是纯粹的高斯.然而,FFT产生一个复数:存在一个非常小的虚部.这很好,因为在傅里叶变换算法中应该预期会出现错误,并且无论如何它都可以忽略不计.令我困惑的是为什么 IFFT中根本没有错误？FFT和IFFT算法有很大不同吗？

***注意:fftshift和ifftshift在这里是等价的,因为我的数组具有偶数个元素.

Answer 1

处理实值时域信号是一种相当普遍的现象.因此,该ifft函数具有对频域中出现的相应对称性的内置处理,如文档的"算法"部分所述:

该ifft函数测试向量是否Y是共轭对称的.v当第i ^个元素满足时,向量是共轭对称的v(i) = conj(v([1,end:-1:2])).如果向量Y是共轭对称的,则逆变换计算更快并且输出是真实的.

换句话说,ifft构造虚部的yIFFT正好为0,因为它检测到您的输入具有共轭对称性.

另一方面,即使时域信号相对较不常见,Mathworks也不认为有必要在fft函数中执行类似的测试.也就是说,您仍然可以通过使用ifft函数through 计算FFT来利用共轭对称性测试

% compute fft(x,[],dim) using ifft:
size(x,dim) * conj(ifft(conj(x),[],dim))