边界条件在热力方程和Crank-Nicholson有限差分解中的应用

Question

下面的代码解决了1D热方程,该方程表示一个杆,其末端保持零温度,初始条件为10*np.sin(np.pi*x).

Dirichlet边界条件(两端的零温度)如何适用于此计算？我被告知矩阵A的上部,下部行包含两个非零元素,缺少的第三个元素是 Dirichlet条件.但我不明白这种情况会影响计算的机制.如果A中缺少元素,u_ {0}或u_ {n}如何为零？

下面的有限差分方法使用Crank-Nicholson.

import numpy as np
import scipy.linalg

# Number of internal points
N = 200

# Calculate Spatial Step-Size
h = 1/(N+1.0)
k = h/2

x = np.linspace(0,1,N+2)
x = x[1:-1] # get rid of the '0' and '1' at each end

# Initial Conditions
u = np.transpose(np.mat(10*np.sin(np.pi*x)))

# second derivative matrix
I2 = -2*np.eye(N)
E = np.diag(np.ones((N-1)), k=1)
D2 = (I2 + E + E.T)/(h**2)

I = np.eye(N)

TFinal = 1
NumOfTimeSteps = int(TFinal/k)

for i in range(NumOfTimeSteps):
    # Solve the System: (I - k/2*D2) u_new = (I + k/2*D2)*u_old
    A = (I - k/2*D2)
    b = np.dot((I + k/2*D2), u)
    u = scipy.linalg.solve(A, b)

Answer 1

我们来看一个简单的例子.我们假设N = 3,即三个内点,但我们首先还会在矩阵中包含D2描述近似二阶导数的边界点:

      1  /  1 -2  1  0  0 \
D2 = --- |  0  1 -2  1  0 |
     h^2 \  0  0  1 -2  1 /

第一行表示的近似二阶导数在x_1是1/h^2 * (u_0 - 2*u_1 + u_2).我们知道,u_0 = 0尽管由于Dirichlet边界条件的同质性,我们可以简单地从等式中省略它,并且得到相同的矩阵结果

      1  /  0 -2  1  0  0 \
D2 = --- |  0  1 -2  1  0 |
     h^2 \  0  0  1 -2  0 /

由于u_0并且u_{n+1}不是真正的未知数 - 它们已知为零 - 我们可以完全从矩阵中删除它们,我们得到

      1  /  2  1  0 \
D2 = --- |  1 -2  1 |
     h^2 \  0  1 -2 /

矩阵中缺失的条目实际上对应于边界条件为零的事实.