矩阵维度在反向传播中不匹配

Question

在这里，我试图实现一个带有单个隐藏层的神经网络来对两个训练示例进行分类。该网络利用 sigmoid 激活函数。

层的尺寸和权重如下：

X : 2X4
w1 : 2X3
l1 : 4X3
w2 : 2X4
Y : 2X3

我在反向传播中遇到了矩阵维度不正确的问题。此代码：

import numpy as np

M = 2
learning_rate = 0.0001

X_train = np.asarray([[1,1,1,1] , [0,0,0,0]])
Y_train = np.asarray([[1,1,1] , [0,0,0]])

X_trainT = X_train.T
Y_trainT = Y_train.T

A2_sig = 0;
A1_sig = 0;

def sigmoid(z):
    s = 1 / (1 + np.exp(-z))  
    return s

def forwardProp() : 

    global A2_sig, A1_sig;

    w1=np.random.uniform(low=-1, high=1, size=(2, 2))
    b1=np.random.uniform(low=1, high=1, size=(2, 1))
    w1 = np.concatenate((w1 , b1) , axis=1)
    A1_dot = np.dot(X_trainT , w1)
    A1_sig = sigmoid(A1_dot).T

    w2=np.random.uniform(low=-1, high=1, size=(4, 1))
    b2=np.random.uniform(low=1, high=1, size=(4, 1))
    w2 = np.concatenate((w2 , b2) , axis=1)
    A2_dot = np.dot(A1_sig, w2)
    A2_sig = sigmoid(A2_dot)

def backProp() : 

    global A2_sig;
    global A1_sig;

    error1 = np.dot((A2_sig - Y_trainT).T, A1_sig / M)
    print(A1_sig)
    print(error1)
    error2 = A1_sig.T - error1

forwardProp()
backProp()

返回错误：

ValueError                                Traceback (most recent call last)
<ipython-input-605-5aa61e60051c> in <module>()
     45 
     46 forwardProp()
---> 47 backProp()
     48 
     49 # dw2 = np.dot((Y_trainT - A2_sig))

<ipython-input-605-5aa61e60051c> in backProp()
     42     print(A1_sig)
     43     print(error1)
---> 44     error2 = A1_sig.T - error1
     45 
     46 forwardProp()

ValueError: operands could not be broadcast together with shapes (4,3) (2,4) 

如何计算前一层的误差？

更新 ：

import numpy as np

M = 2
learning_rate = 0.0001

X_train = np.asarray([[1,1,1,1] , [0,0,0,0]])
Y_train = np.asarray([[1,1,1] , [0,0,0]])

X_trainT = X_train.T
Y_trainT = Y_train.T

A2_sig = 0;
A1_sig = 0;

def sigmoid(z):
    s = 1 / (1 + np.exp(-z))  
    return s


A1_sig = 0;
A2_sig = 0;

def forwardProp() : 

    global A2_sig, A1_sig;

    w1=np.random.uniform(low=-1, high=1, size=(4, 2))
    b1=np.random.uniform(low=1, high=1, size=(2, 1))
    A1_dot = np.dot(X_train , w1) + b1
    A1_sig = sigmoid(A1_dot).T

    w2=np.random.uniform(low=-1, high=1, size=(2, 3))
    b2=np.random.uniform(low=1, high=1, size=(2, 1))
    A2_dot = np.dot(A1_dot , w2) + b2
    A2_sig = sigmoid(A2_dot)

    return(A2_sig)

def backProp() : 
    global A2_sig;
    global A1_sig;

    error1 = np.dot((A2_sig - Y_trainT.T).T , A1_sig / M)
    error2 = error1 - A1_sig

    return(error1)

print(forwardProp())
print(backProp())

返回错误：

ValueError                                Traceback (most recent call last)
<ipython-input-664-25e99255981f> in <module>()
     47 
     48 print(forwardProp())
---> 49 print(backProp())

<ipython-input-664-25e99255981f> in backProp()
     42 
     43     error1 = np.dot((A2_sig - Y_trainT.T).T , A1_sig / M)
---> 44     error2 = error1.T - A1_sig
     45 
     46     return(error1)

ValueError: operands could not be broadcast together with shapes (2,3) (2,2) 

是否错误地设置了矩阵维度？

Answer 1

您的第一个权重矩阵w1的形状应为，因此当您将形状为 的输入(n_features, layer_1_size)乘以 时，您将得到一个矩阵。这通过第 1 层的激活运行，然后输入到第 2 层，该层应具有形状 的权重矩阵，因为您正在对 3 个类进行多标签分类。正如您所看到的，关键是将每一层的输入转换为适合该层中神经元数量的形状，或者换句话说，层的每个输入都必须馈送到该层中的每个神经元。X(m_examples, n_features)w1(m_examples, layer_1_size)(layer_1_size, output_size)output_size=3

我不会像你拥有的那样对你的层输入进行转置，我会按照描述来塑造权重矩阵，这样你就可以计算np.dot(X, w1)等。

看起来你也没有正确处理你的偏见。当我们计算 时Z = np.dot(w1,X) + b1，b1应该进行广播，以便将其添加到w1和的乘积的每一列中X。b1如果您将其附加到权重矩阵中，则不会发生这种情况。相反，您应该在输入矩阵中添加一列ones，并在权重矩阵中添加一行，这样偏置项就位于权重矩阵的该行中，并且在ones输入中确保它们被添加到任何地方。在此设置中，您不需要单独的b1,b2术语。

X_train = np.c_(X_train, np.ones(m_examples))

并记住在权重中再添加一行，因此w1应该具有 shape (n_features+1, layer_1_size)。

反向传播更新：

反向传播的目标是计算误差函数相对于权重和偏差的梯度，并使用每个结果来更新每个权重矩阵和每个偏差向量。

因此您需要dE/dw2、dE/db2、dE/dw1，dE/db1这样您就可以应用更新：

w2 <- w2 - learning_rate * dE/dw2
b2 <- b2 - learning_rate * dE/db2
w1 <- w1 - learning_rate * dE/dw1
b1 <- b1 - learning_rate * dE/db1

由于您正在进行多标签分类，因此应该使用二元交叉熵损失：

您可以dE/dw2使用链式法则进行计算：

dE/dw2 = (dE/dA2) * (dA/dZ2) * (dZ2/dw2)

我正在Z为您使用A2_dot，因为尚未应用激活，并且我正在A2为您使用A2_sig。

有关 sigmoid 激活的交叉熵损失的详细推导，请参阅反向传播注释 [pdf] 。然而，这给出了逐点推导，而我们正在寻找矢量化实现，因此您将需要做一些工作来找出矩阵的正确布局。不幸的是，也没有明确的偏差向量。

您的表达式看起来error1是正确的，但我将其称为dw2，并且我只会使用Y_train而不是进行两次转置：

dw2 = (1/m) * np.dot((A2 - Y_train).T , A1)

你还需要db2应该是：

db2 = (1/m) * np.sum(A2 - Y_train, axis=1, keepdims=True)

您必须进一步应用链式法则才能得到dw1和，我将把它留给您，但神经网络和深度学习db1Coursera 课程的第 3 周有一个很好的推导。

除了我认为您不应该在反向传播代码中进行该计算之外，我无法对您遇到错误的行说太多，因此尺寸不匹配是有道理的。您可能会想到输出处的梯度，但我想不出任何涉及A1该网络中反向传播的类似表达式。

本文在 numpy 中很好地实现了单隐藏层神经网络。它在输出处确实使用了 softmax，但它在隐藏层中具有 sigmoid 激活，否则计算差异很小。它应该可以帮助您计算隐藏层的dw1和。db1具体来说，请查看标题为delta1“实践中的神经网络”的部分中的表达式。

将他们的计算转换为我们正在使用的符号，并在输出中使用 sigmoid 而不是 softmax，它应该如下所示：

dZ2 = A2 - Y_train
dZ1 = np.dot(dZ2, w2.T) * A1 * (1 - A1) # element-wise product

dw2 = (1/m) * np.dot(dZ2, A1.T)
db2 = (1/m) * np.sum(dZ2, axis=1, keepdims=True)

dw1 = (1/m) * np.dot(dZ1, X_train.T)
db1 = (1/m) * np.sum(dZ1, axis=1, keepdims=True)

Answer 2

代码审查

我检查了您的最新版本并发现以下错误：

• （次要）在前向传递中，A1_sig从未使用过，也许这只是一个拼写错误。

• （主要）在向后传递中，我不确定您打算使用什么作为损失函数。从代码来看，它看起来像是 L2 损失：

  error1 = np.dot((A2_sig - Y_trainT.T).T , A1_sig / M)
  

  关键表达是这样的：（A2_sig - Y_trainT.T虽然也许我只是不明白你的想法）。

  但是，您提到您正在进行多标签分类，很可能是二进制分类。在这种情况下，L2 损失是一个糟糕的选择（如果您有兴趣了解原因，请参阅这篇文章）。相反，使用逻辑回归损失，也称为交叉熵。就你而言，它是二进制的。

• （关键）在向后传递中，您跳过了 sigmoid 层。下面的代码行获取损失误差并将其传递到线性层：

  error1 = np.dot((A2_sig - Y_trainT.T).T , A1_sig / M)
  

  ...而前向传播在线性层之后经过 sigmoid 激活（这是正确的）。在这一点上，error1没有任何意义，它的尺寸也不重要。

解决方案

我不喜欢你的变量命名，这很容易让人困惑。所以我改变了它并重新组织了一些代码。这是收敛的神经网络：

error1 = np.dot((A2_sig - Y_trainT.T).T , A1_sig / M)