高效评估超几何函数

Question

有没有人有评估超几何函数的算法经验？我会对一般参考文献感兴趣,但我会描述我的特殊问题,以防有人处理它.

我的具体问题是评估形式3F2(a,b,1; c,d; 1)的函数,其中a,b,c和d都是正实数,c + d> a + b + 1.有许多特殊情况具有封闭形式的公式,但据我所知,一般没有这样的公式.以零为中心的幂级数收敛于1,但非常缓慢; 连续系数的比率在限制中变为1.也许像Aitken加速这样的东西会有帮助吗？

Answer 1

我测试了Aitken加速度,它似乎没有帮助解决这个问题(Richardson也没有推断).这可能意味着Pade近似也不起作用.我可能做错了,所以一定要亲自试试.

我可以想到两种方法.

一种是在某些点评估系列,例如z = 0.5,其中收敛快速得到初始值,然后通过将超几何微分方程插入ODE求解器而前进到z = 1 .我不知道这在实践中有多好用; 它可能不会,因为z = 1是一个奇点(如果我没记错的话).

第二种是根据Meijer G函数使用3F2的定义.定义Meijer G函数的轮廓积分可以通过将高斯或双指数正交应用于轮廓的分段来数值地评估.这不是非常有效,但它应该工作,它应该扩展到相对较高的精度.

Answer 2

您想要对知道连续项之比并且它是有理函数的级数求和，这是否正确？

我认为Gosper 的算法和其他用于证明超几何恒等式（并找到它们）的工具正是这样做的，对吗？（参见 Wilf 和 Zielberger 的A=B 在线书籍。）