浮点数加法的关联属性

Question

设 x、y 和 z 为浮点数。那么 (x+y)+z =/= x+(y+z) 是真的吗？有人能给我举个例子吗？我希望 x、y 和 z 是浮点数（IEEE 表示），而不仅仅是任何实数。

Answer 1

正如您提出的问题一样，这通常不正确。存在 x、y 和 z 使得(x+y)+z = x+(y+z)。但您可能想问是否始终如此(x+y)+z = x+(y+z)。这并不总是正确的。

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一个明显的反例是 (2 ⁶⁴ + \xe2\x88\x922 ⁶⁴ ) + 1 和 2 ⁶⁴ + (\xe2\x88\x922 ⁶⁴ + 1)。对于 64 位二进制 IEEE-754 算术，前者是 0 + 1 = 1，后者是 2 ⁶⁴ + \xe2\x88\x922 ⁶⁴ = 0。在后者中，由于 \xe2 的大小而丢失了 1 \x88\x922 ⁶⁴太大了，总和没有足够的精度来包含 1。

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还有一些更微妙的情况，其中一个数字的一​​部分丢失了。

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