没有两个元素相邻的最大和

Question

现在可用的解决方案是每个地方都有一个include和exclude sum 。在max这两个结束时会给我输出。

现在最初我很难理解这个算法，我想为什么不以简单的方式进行。

算法：通过一次增加两个数组指针来循环数组

1. 计算数组中的奇数定位元素sum
2. 计算偶数定位元素sum

最后，拿max这两个sum。

那样的话，我认为复杂度会减半 O(n/2)

这个算法正确吗？

Answer 1

这是动态规划的一个例子。算法是：

1. 不要采取（总结）任何非积极的项目
2. 对于正数，将问题一分为二：尝试获取并跳过该项目并返回这些选择中的最大值：

让我们展示第二步，假设我们有：

[1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 125, -8, 9]

1是积极的，这就是为什么

take_sum = max(1 + max_sum([3, 4, 5, 6, 10, 125, -8, 9])) // we take "1"
skip_sum = max_sum([2, 3, 4, 5, 6, 10, 125, -8, 9])       // we skip "1" 
max_sum =  max(take_sum, skip_sum)

C#实现（最简单的代码，为了展示赤裸裸的想法，不再进一步优化）：

private static int BestSum(int[] array, int index) {
  if (index >= array.Length)
    return 0;

  if (array[index] <= 0)
    return BestSum(array, index + 1);

  int take = array[index] + BestSum(array, index + 2);
  int skip = BestSum(array, index + 1);

  return Math.Max(take, skip);
}

private static int BestSum(int[] array) {
  return BestSum(array, 0);
}

测试：

Console.WriteLine(BestSum(new int[] { 1, -2, -3, 100 }));
Console.WriteLine(BestSum(new int[] { 100, 8, 10, 20, 7 }))

结果：

101        
120

请检查您的初始算法是否返回98以及117哪些是次优总和。

编辑：在现实生活中，您可能想要添加一些优化，例如记忆和特殊情况测试：

private static Dictionary<int, int> s_Memo = new Dictionary<int, int>();

private static int BestSum(int[] array, int index) {
  if (index >= array.Length)
    return 0;

  int result;

  if (s_Memo.TryGetValue(index, out result)) // <- Memoization
    return result;

  if (array[index] <= 0) 
    return BestSum(array, index + 1);

  // Always take, when the last item to choose or when followed by non-positive item
  if (index >= array.Length - 1 || array[index + 1] <= 0) {
    result = array[index] + BestSum(array, index + 2);
  }
  else {
    int take = array[index] + BestSum(array, index + 2);
    int skip = BestSum(array, index + 1);

    result = Math.Max(take, skip);
  }

  s_Memo.Add(index, result); // <- Memoization

  return result;
}

private static int BestSum(int[] array) {
  s_Memo.Clear();

  return BestSum(array, 0);
}

测试：

  using System.Linq;

  ...

  Random gen = new Random(0); // 0 - random, by repeatable (to reproduce the same result)

  int[] test = Enumerable
    .Range(1, 10000)
    .Select(i => gen.Next(100))
    .ToArray();

  int evenSum = test.Where((v, i) => i % 2 == 0).Sum();
  int oddSum = test.Where((v, i) => i % 2 != 0).Sum();
  int suboptimalSum = Math.Max(evenSum, oddSum); // <- Your initial algorithm
  int result = BestSum(test);

  Console.WriteLine(
    $"odd: {oddSum} even: {evenSum} suboptimal: {suboptimalSum} actual: {result}");

结果：

  odd: 246117 even: 247137 suboptimal: 247137 actual: 290856