为什么这种插入比插入未排序列表更快？

Question

在我的堆和未排序的列表中插入100000000个元素之后,堆插入实际上似乎更快(12秒对20秒).为什么是这样？我相信堆插入是O(logn)在未排序的列表插入时O(1).我还注意到我的堆插入实现实际上并没有随着输入的数量而扩展.这也让我感到困惑.

这是我运行的代码:

int main ()
{
    clock_t unsortedStart;
    clock_t heapStart;

    double unsortedDuration;
    double heapDuration;

    int num_pushes = 100000000;
    int interval = 10000;

    ofstream unsorted ("unsorted.txt");
    ofstream heap ("heap.txt");

    UnsortedPQ<int> unsortedPQ; 
    HeapPQ<int> heapPQ; 

    unsortedStart = clock();

    for (int i = 0; i < num_pushes; ++i)
    {
        if (i % interval == 0) {
            unsortedDuration = ( clock() - unsortedStart ) / (double) CLOCKS_PER_SEC;
            unsorted << unsortedDuration << " " << i << endl;
        }

        unsortedPQ.insertItem(rand() % 100);
    }

    heapStart = clock();
    for (int i = 0; i < num_pushes; ++i)
    {
        if (i % interval == 0) {
            heapDuration = ( clock() - heapStart ) / (double) CLOCKS_PER_SEC;
            heap << heapDuration << " " << i << endl;
        }
        heapPQ.insertItem(rand() % 100);
    }
    return 0;
}

这是insert(uses std::vector)的堆实现:

template <class T>
void HeapPQ<T>::insertItem(T data) { 
    //insert into back of heap (std::vector)
    dataArray.push_back(data);
    int i = dataArray.size() - 1;

    //sifts the inserted element up
    while (i != 0 && dataArray[(i - 1) / 2] > dataArray[i]) {
        swap(dataArray[i], dataArray[(i - 1) / 2]);
        i = (i - 1) / 2;
    }
}

这是insert(uses std::list)的未排序列表实现:

//pushes element to the back of a std::list
template <class T>
void UnsortedPQ<T>::insertItem(T data) { dataList.push_back(data); }

Answer 1

插入堆中O(logn)意味着每次插入都可以占用大多数O(logn)步骤.这并不意味着必须这样做.

在您的示例中,插入元素的平均成本是O(1).为什么？

为简单起见,假设您只0按1随机顺序插入a和s(在当前版本中只插入数字0..99(rand() % 100) - 计算更复杂,但行为保持不变).2*n插入元素后,堆中会出现n 0s和n 1s,堆看起来如下:

                                 0
                                0 0
                               00 00
                          ...............
                         0 0 0  0  0  0  0
                       11 11 11 11 11 11 11

所以基本上,1s都处于最后一级,k而0s处于等级0..k-1.

1. 如果1插入,则无事可做(2上面没有).
2. 如果0插入,则最多只有一个交换(1s可能位于最后一个级别之上,但上面有2个级别).

平均而言,我们只需要0.5互换,而不是互换k.

具有相同的渐近运行时间,这一切都归结为插入向量和列表中的(分摊的)成本.列表似乎更慢(我的假设是,对于每个插件,它需要在堆上分配一个元素new,这是一个非常慢的操作.成本取决于其他因素,例如插入对象的大小,以及因此它可以改变哪一个更快).

让我们仔细看看你的案例,其中数字是由统一的分配产生的[0..99].在n>>100插入后,我们将有以下情况(涉及一些挥手,但要点应该是明确的):

1. k堆的最后一级(-th)具有n/2元素并由数字组成50..99.因此,对于50%的可能数字(即50..99),不需要移位.
2. k-1堆的第二个最后一级(-th)具有n/4元素并由数字组成25..49.这意味着25%的可能数字恰好需要1个班次.
3. 关卡k-2 有n/8元素,由数字组成13..24.
4. 上面的级别log 100/log 2只有0s里面.因此,可能的最大移位数与- 堆中元素的数量m=log 100/log 2无关n.

因此插入的最坏情况成本是log 100/log 2,平均成本甚至更小:

E(insertion)=0*1/2+1*1/4+2*1/8+...<=1.0

也就是说,平均每次插入少于1次.

注意:这并不意味着,在堆中插入已经摊销的成本O(1)- 如果你不是按随机顺序插入数字,而是首先输入所有99s,然后98是s,......,那么0你将有O(log n)每次插入的成本.