检查E的近似值

Question

MathWorld 页面给出了一个简单的数字公式e,据称对前10 ^ 25位数字是正确的.它说e大约是

(1 + 9^-4^(7*6))^3^2^85

知道如何检查这个公式是否正确,即使是前10位数？这是写右手边的另一种方式

Power[Plus[1, Power[9, Times[-1, Power[4, Times[7, 6]]]]], Power[3, Power[2, 85]]]

Answer 1

这个问题根本不需要Mathematica.首先,很容易证明9^(4^(7*6))完全相同3^2^85,因为

 9^(4^(7*6)) = 3^(2*4^(7*6)) = 3^(2^(1+2*(7*6))) = 3^2^85

然后,我们知道其中一种表示方式e是限制

e = lim (1+1/n)^n, n->infinity

唯一的问题是给出的误差n是多大但有限的.我们有

(1+1/n)^n = e^log((1+1/n)^n) = e^(n*log(1+1/n)) = e^(1-1/(2n)+O(1/n^2)) = e + O(1/n),

鉴于n = 3^2^85我,我们采取了log(10,n) = 2^85 log(10,3) ~ 1.85 *10^25,我们得到一个类似于引用的估计