通过选择圆周上的点将圆分成碎片？

Question

在圆上,在其圆周上选择N个任意点.用这N个点形成的完整图形将圆的面积分成许多部分.

当沿着圆周选择点时,圆将被分成的最大区域数是多少？

例子:

• 2分=> 2件
• 4分=> 8件

任何想法如何去做？

Answer 1

这被称为Moser的圆圈问题.

解决方案是:

即

证明非常简单:

考虑圆内的每个交叉点.它必须由两条线的交点定义,每条线有两个点,因此圆内的每个交点在圆周上定义了4组唯一的点.因此,最多有n choose 4内顶点,显然n圆周上有顶点.

现在,每个顶点接触多少条边？嗯,这是一个完整的图形,因此外部的每个顶点都会触及n - 1边缘,当然内部的每个顶点都会触及4边缘.所以边数由下式给出(n(n - 1) + 4(n choose 4))/2(除以2,因为否则每个边将被其两个顶点计数两次).

最后一步是使用欧拉公式表示图中的面数,即:( 在我们的例子中v - e + f = 1,欧拉特征为1).

求解f给出上面的公式:-)