带移动孔的环内随机点

Question

首先，如果有人能给我一个合适的术语“带有移动孔的环”，我将不胜感激，请准确地看看我在下图中所说的形状。

回到主要问题：我想在橙色区域中随机选取一个点，不需要均匀分布。对于通常的环面情况，我会在 (r:R) 范围内选择随机点和随机角度，然后将它们转换为 x,y 就完成了。但是对于这种不寻常的形状......是否有一个“简单”的公式，或者我应该通过对形状进行某种多边形近似来接近它？

我对通用方法感兴趣，但希望能提供 python、javascript 或您选择的任何编码语言的示例。

Answer 1

这是一种无需重采样即可提供均匀分布的简单方法。

为简单起见，假设外边界圆的中心（半径r_outer）位于(0, 0)，内圆边界（半径）的中心r_inner位于(x_inner, y_inner)。

分别写出D外圆盘、H1由偏心内孔给出的平面子集以及半径H2为、中心为 的中心圆盘。r_inner(0, 0)

现在假设我们忽略内圆不是中心的事实，而不是D-H1从中采样D-H2（这很容易统一完成）。那么我们就犯了两个错误：

• 我们可以从某个区域A = H1 - H2进行采样，即使这些样本不应该出现在结果中。
• 有一个区域B = H2 - H1我们从未采样过，尽管我们应该采样

但事情是这样的：区域A和B是全等的：给定平面上的任何点，当且仅当在 中时， 是 在 中，并且当且仅当在 中时 是！该地图表示围绕该点旋转 180 度。所以有一个简单的技巧：从 生成，如果我们最终得到 中的某些内容，则旋转以获得 的对应点。(x, y)(x, y)H2(x_inner - x, y_inner - y)H1(x, y)A(x_inner - x, y_inner - y)B(x, y) -> (x_inner - x, y_inner - y)(0.5*x_inner, 0.5*y_inner)D - H2H1 - H2H2 - H1

这是代码。请注意使用均匀分布的平方根来选择半径：这是一个标准技巧。例如，请参阅这篇文章。

import math
import random

def sample(r_outer, r_inner, x_inner, y_inner):
    """
    Sample uniformly from (x, y) satisfiying:

       x**2 + y**2 <= r_outer**2

       (x-x_inner)**2 + (y-y_inner)**2 > r_inner**2

    Assumes that the inner circle lies inside the outer circle;
    i.e., that hypot(x_inner, y_inner) <= r_outer - r_inner.
    """
    # Sample from a normal annulus with radii r_inner and r_outer.
    rad = math.sqrt(random.uniform(r_inner**2, r_outer**2))
    angle = random.uniform(-math.pi, math.pi)
    x, y = rad*math.cos(angle),rad*math.sin(angle)

    # If we're inside the forbidden hole, reflect.
    if math.hypot(x - x_inner, y - y_inner) < r_inner:
        x, y = x_inner - x, y_inner - y

    return x, y

以及由以下命令生成的示例图：

import matplotlib.pyplot as plt
samples = [sample(5, 2, 1.0, 2.0) for _ in range(10000)]
xs, ys = zip(*samples)

plt.scatter(xs, ys, s=0.1)
plt.axis("equal")
plt.show()