计算给定控制点的贝塞尔曲线的曲率半径

Question

我正在尝试编写一种以曲率作为优化参数之一的遗传算法。我想根据贝塞尔曲线的控制点计算曲率。我有一个想要优化的最小曲率半径。我一直在引用这篇论文：https ://arxiv.org/pdf/1503.01524.pdf

在论文中，有一个函数可以获取三角形的边长来获取隐含的曲率半径，我已经实现了该函数。这是我当前的代码：

// Computes the curvature implied by 3 control points of a bezier curve
float curvature(float4 p0, float4 p1, float4 p2) {

    // Get the triangle side lengths
    float a = distance(p0, p1);
    float b = distance(p1, p2);
    float c = distance(p2, p0);

    // Do the curvature calculation
    float num = a * b * c;
    float denom = (a + b + c) * (b + c - a) * (a - b + c) * (a + b - c);

    return num / sqrt(denom);

}

这个函数的结果似乎不正确。我对路径中的每个点运行此函数，保存最后两个点，然后获取所有点的最小半径。当我绘制路径时，该函数的计算结果与我直观看到的结果之间似乎存在重大差异。执行此操作的正确方法是什么？

编辑：我正在计算三个控制点之间的曲率半径，而不是曲线中给定点的曲率半径，如果不清楚，我很抱歉。

Answer 1

曲率半径 R(t) 等于 1/\xce\xba(t)，其中 \xce\xba(t) 是曲线在 t 点的曲率，对于参数化平面曲线为：

\n\n

            x\'y" - y\'x"\n\xce\xba(t)  = --------------------\n         (x\'\xc2\xb2 + y\'\xc2\xb2)^(3/2)\n

\n\n

（其中^(3/2)确实是^3/2，但您不能在代码块中使用 html 进行上标格式设置，并且 (t) 部分已从 x 和 y 的函数中删除，因为这会使内容变得不必要地难以阅读）

\n\n

因此，对于具有控件 P\xe2\x82\x81、P\xe2\x82\x82 和 P\xe2\x82\x83 的二次贝塞尔曲线，一阶和二阶导数使用以下控制点：

\n\n

B(t)\': P\xe2\x82\x81\' = 2(P\xe2\x82\x82 - P\xe2\x82\x81), and P\xe2\x82\x82\' = 2(P\xe2\x82\x83 - P\xe2\x82\x82)\nB(t)": P\xe2\x82\x81" = (P\'\xe2\x82\x82 - P\'\xe2\x82\x81)\n

\n\n

评估 x 和 y 的值实际上只是“使用 x 或 y 坐标”，因此：

\n\n

x\' = Px\xe2\x82\x81\'(t-1) + Px\xe2\x82\x82\'(t)\ny\' = Py\xe2\x82\x81\'(t-1) + Py\xe2\x82\x82\'(t)\nx" = Px\xe2\x82\x81"\ny" = Py\xe2\x82\x81"\n

\n\n

注意 x" 和 y" 只是常数。我们将这些值代入 \xce\xba(t) 的函数中，当然前提是分母不为零（表示一条线段，没有曲率半径），然后我们就知道 R(t ) 是因为这只是倒数。

\n\n

但我们实际上不需要做任何事情，因为我们可以做一个简单的观察：将圆也视为参数曲线，我们可以根据以下事实立即找到它的半径：曲线的导数与圆在同一点的导数相等。此外，我们知道圆上任何位置导数的长度都相同（因为它是一个圆，根据定义，它关于原点径向对称）。因此，我们可以解决以下问题：

\n\n

B(t)  = P1(1-t)^2 + 2*P2(1-t)t + P3t^2\nB(t)\' = 2*(P2-P1)(1-t) + 2*(P3-P2)t\n\nC(s)  = { r*sin(s), r*cos(s) }independent of \'t\')\nC(s)\' = { r*cos(s), -r*sin(s) }\n\nd = |B(t)\'| = |C(s = any value, so let\'s pick 0)\'|\nd = C(0)\' = | (r,0) | = r\n

\n\n

我们就完成了。B(t)点的曲率半径等于B(t)'的向量长度，这样实现起来更容易，运行起来也更快。

\n\n

最后，如果您真正想要的只是用圆弧近似曲线部分，那么https://pomax.github.io/bezierinfo/#arcapproximation 应该涵盖该特定用例的“如何做”。

\n