从相关系数计算中删除异常值

Question

假设我们有两个数字向量x和y.之间的Pearson相关系数x和y由下式给出

cor(x,y)

如何才能自动仅考虑计算中的一部分(x和y90%)以最大化相关系数？

Answer 1

如果你真的想这样做(删除最大(绝对)残差),那么我们可以使用线性模型来估计最小二乘解和相关残差,然后选择中间n%的数据.这是一个例子:

首先,生成一些虚拟数据:

require(MASS) ## for mvrnorm()
set.seed(1)
dat <- mvrnorm(1000, mu = c(4,5), Sigma = matrix(c(1,0.8,1,0.8), ncol = 2))
dat <- data.frame(dat)
names(dat) <- c("X","Y")
plot(dat)

接下来,我们拟合线性模型并提取残差:

res <- resid(mod <- lm(Y ~ X, data = dat))

该quantile()函数可以为我们提供所需的残差分位数.您建议保留90%的数据,因此我们需要0.05和更低的分位数:

res.qt <- quantile(res, probs = c(0.05,0.95))

选择中间90%数据中残差的观察值:

want <- which(res >= res.qt[1] & res <= res.qt[2])

然后我们可以想象这一点,红点是我们将保留的:

plot(dat, type = "n")
points(dat[-want,], col = "black", pch = 21, bg = "black", cex = 0.8)
points(dat[want,], col = "red", pch = 21, bg = "red", cex = 0.8)
abline(mod, col = "blue", lwd = 2)

完整数据和所选子集的相关性为:

> cor(dat)
          X         Y
X 1.0000000 0.8935235
Y 0.8935235 1.0000000
> cor(dat[want,])
          X         Y
X 1.0000000 0.9272109
Y 0.9272109 1.0000000
> cor(dat[-want,])
         X        Y
X 1.000000 0.739972
Y 0.739972 1.000000

请注意,在这里我们可能会抛出完美的数据,因为我们只选择具有最大正残差的5%和具有最大负数的5%.另一种方法是选择具有最小绝对残差的90%:

ares <- abs(res)
absres.qt <- quantile(ares, prob = c(.9))
abswant <- which(ares <= absres.qt)
## plot - virtually the same, but not quite
plot(dat, type = "n")
points(dat[-abswant,], col = "black", pch = 21, bg = "black", cex = 0.8)
points(dat[abswant,], col = "red", pch = 21, bg = "red", cex = 0.8)
abline(mod, col = "blue", lwd = 2)

使用这个略有不同的子集,相关性略低:

> cor(dat[abswant,])
          X         Y
X 1.0000000 0.9272032
Y 0.9272032 1.0000000

另一点是,即使这样,我们也会抛出好的数据.您可能希望将Cook的距离视为异常值强度的度量,并且仅丢弃那些超过某个阈值Cook距离的值.维基百科有关于库克距离和拟议门槛的信息.该cooks.distance()函数可用于从mod以下位置检索值:

> head(cooks.distance(mod))
           1            2            3            4            5            6 
7.738789e-04 6.056810e-04 6.375505e-04 4.338566e-04 1.163721e-05 1.740565e-03

如果你计算维基百科上建议的阈值,只删除那些超过阈值的阈值.对于这些数据:

> any(cooks.distance(mod) > 1)
[1] FALSE
> any(cooks.distance(mod) > (4 * nrow(dat)))
[1] FALSE

没有Cook的距离超过建议的阈值(考虑到我生成数据的方式,这并不奇怪.)

说完这一切之后,你为什么要这样做呢？如果你只是试图摆脱数据以改善相关性或产生重要的关系,那听起来有点可疑,有点像数据疏浚给我.

Answer 2

使用method = "spearman"的cor将是稳健的污染,而且容易实现,因为它仅涉及更换cor(x, y)使用cor(x, y, method = "spearman").

重复Prasad的分析,但使用Spearman相关性,我们发现Spearman相关性确实对这里的污染很稳健,恢复了潜在的零相关性:

set.seed(1)

# x and y are uncorrelated
x <- rnorm(1000)
y <- rnorm(1000)
cor(x,y)
## [1] 0.006401211

# add contamination -- now cor says they are highly correlated
x <- c(x, 500)
y <- c(y, 500)
cor(x, y)
## [1] 0.995741

# but with method = "spearman" contamination is removed & they are shown to be uncorrelated
cor(x, y, method = "spearman")
## [1] -0.007270813

Answer 3

对于OP来说这可能已经很明显了,但只是为了确保......你必须要小心,因为尝试最大化相关可能实际上倾向于包含异常值.(@Gavin在他的回答/评论中触及了这一点.)我将首先删除异常值,然后计算相关性.更一般地,我们想要计算对异常值稳健的相关性(并且在R中存在许多这样的方法).

只是为了显着说明这一点,让我们创建两个向量x和y是不相关的:

set.seed(1)
x <- rnorm(1000)
y <- rnorm(1000)
> cor(x,y)
[1] 0.006401211

现在让我们添加一个异常点(500,500):

x <- c(x, 500)
y <- c(y, 500)

现在,包含异常值点的任何子集的相关性将接近100%,并且排除异常值的任何足够大的子集的相关性将接近于零.特别是,

> cor(x,y)
[1] 0.995741

如果要估计对异常值不敏感的"真实"相关性,可以尝试使用该robust包:

require(robust)
> covRob(cbind(x,y), corr = TRUE)
Call:
covRob(data = cbind(x, y), corr = TRUE)

Robust Estimate of Correlation: 
            x           y
x  1.00000000 -0.02594260
y -0.02594260  1.00000000

您可以使用参数covRob来决定如何修剪数据. 更新:包中还有rlm(稳健的线性回归)MASS.

Answer 4

这是捕获异常值的另一种可能性.使用与Prasad类似的方案:

library(mvoutlier)    
set.seed(1)    
x <- rnorm(1000)    
y <- rnorm(1000)    
xy <- cbind(x, y)    
outliers <- aq.plot(xy, alpha=0.975) #The documentation/default says alpha=0.025.  I think the functions wants 0.975   
cor.plot(x, y)    
color.plot(xy)   
dd.plot(xy)   
uni.plot(xy)    

在其他答案中,500被困在x和y的末尾作为异常值.这可能会,或者可能不会导致您的计算机出现内存问题,所以我将其降低到4以避免这种情况.

x1 <- c(x, 4)     
y1 <- c(y, 4)    
xy1 <- cbind(x1, y1)    
outliers1 <- aq.plot(xy1, alpha=0.975) #The documentation/default says alpha=0.025.  I think the functions wants 0.975
cor.plot(x1, y1)    
color.plot(xy1)    
dd.plot(xy1)    
uni.plot(xy1)    

以下是x1,y1,xy1数据中的图像: