浮点数的最佳中点公式是什么？

Question

第一个公式

m = (a + b) / 2

很简单，但是有很大的溢出风险。此外，Burden and Faires的《第9版数值分析》指出：

当b-a接近机器的最大精度时，（a + b）/ 2可能返回一个中间点，该中间点甚至不在[a，b]区间内。

尽管没有提供进一步的解释。

第二个

m = a + (b - a) / 2

也是正确的，溢出的可能性较小。但是对于浮点数，a和b几乎相等的值可能会导致重要性下降。

那么，哪种公式在实践中更好？另外，将理解对引用语句的解释。

Answer 1

简单的情况(a+b)/2可能并不像您想象的那么容易溢出\xe2\x80\x94对于 IEEE 754 双精度，至少其中一个操作数必须至少为 8.988e307（最大有限值 1.788e308 的一半）才会溢出a+b。此外，如果它没有溢出，那么它会被正确舍入（同样，对于 754），因为最多一次运算舍入（除法（可能）仅对小于 4.450e-308 的数字进行舍入（降至 5e-324 的绝对最小值） ，并且没有任何加法的结果在每一轮中都接近于 0）。由于它是正确舍入的，因此它当然不能在 [ a , b ] 之外，因为其中至少有一个更接近真实值。

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如果您可能溢出，则至少有一个值非常大，因此您可以只使用a/2+b/2，然后它也会正确舍入（因为每个除法都是精确的或不相关的）。这当然又是一种浮点运算。

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需要注意的是，舍入模式可能会使用这些公式产生意外的上溢或下溢，但这并不是一个常见问题。

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至于，如果a和b可能有不同的符号，a+(b-a)/2则它\xe2\x80\x99s同样会导致溢出。然而，它并没有\xe2\x80\x99t的意义\xe2\x80\x9c损失\xe2\x80\x9d关注：虽然大近似值的小差异的相对误差当然可能非常大，但这样的操作就精确的浮点输入值而言始终是精确的，因此除了任何此类计算中固有的问题之外，不会产生任何数值问题。

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