将单位矢量转换为四元数

Question

所以我对四元数很新,但我理解如何用它们操作东西的基础知识.我目前要做的是将已知的四元数与空间中的两个绝对点进行比较.我希望我能做的只是将点转换成第二个四元数,让我有一个简单的方法来比较两者.

到目前为止我所做的是将这两个点转换为单位向量.从那里我希望我可以直接将ijk插入四元数的虚部,标量为零.从那里我可以将一个四元数乘以另一个四元数,得到第三个四元数.这个第三个四元数可以转换成轴角,给出原始两个四元数相差的程度.

这个思维过程是否正确？所以它应该只是[0 ijk].之后我可能需要规范化四元数,但我不确定.

我有一种不好的感觉,它不是从向量到四元数的直接映射.我试着将单位矢量转换为轴角度,但我不确定这会起作用,因为我不知道作为输入给出的角度.

Answer 1

符号

四元数在基数为 {1, i, j, k} 的四空间中定义。汉密尔顿将这一基本关系刻在都柏林布鲁厄姆桥的石头上：

i ² = j ² = k ² = ijk = -1。

有许多等效的四元数参数化，但在这里我将使用 {scalar, vector } 形式。

1.) A = {a0, a } 且 B = {b0, b }，其中 A 和 B 是四元数，a0 和 b0 是标量，a和b是三向量。

2.) X = { 0, x } 是向量四元数。

3.) （非交换）四元数乘积直接从上面 i、j 和 k 的属性导出，A⊗B = {a0 b0 - a。b , a0 b + b0 a + a x b }

4.)四元数共轭为 A ^* = {a0, - a }

5.)四元数乘积的共轭是共轭逆序的乘积。
(A⊗B) ^* = B ^* ⊗A ^*

6.)向量四元数的共轭是它的负数。X ^* = {0, - x } = -X

7.)四元数范数是|A| = √(A⊗A ^* ) = √( a0² + a . a )

8.)单位四元数是范数为 1 的四元数。

9.) 单位三向量x = {x ₁ , x ₂ , x ₃ } 且x。x = 1 可表示为单位向量四元数X = { 0, x }, |X| = 1。

10.)四元数向量 X 绕单位向量轴n的球面旋转角度 θ为 Q⊗X⊗Q ^*，其中 Q 是四元数 {cos(θ/2), sin(θ/2) n } 。请注意|Q| = 1。

注意四元数向量积的形式。给定向量四元数 X ₁ = { 0, x ₁ ) 和 X ₂ = { 0, x ₂ }，四元数乘积为 X ₂ ⊗X ₁ ^* = { x ₁。x ₂ , x ₁ × x ₂ }。四元数将点积重新统一为标量部分，将叉积重新统一为矢量部分，这两个概念在一百多年前就已经分开了。这些乘积都不是可逆的，但四元数的方式如下所述。

反转

找到球面变换四元数 Q ₁₂以旋转矢量 X _{1与矢量 X 2}对齐。

从上面

X ₂ = Q ₁₂ ⊗X ₁ ⊗Q ₁₂ ^*

两边同时乘以 X ₁ ^*，

X ₂ ⊗X ₁ ^* = Q ₁₂ ⊗X ₁ ⊗(Q ₁₂ ^* ⊗X ₁ ^* )

请记住，旋转轴n来自叉积x ₁ × x ₂，因此n。x ₁ = 0. 且 Q ^* ⊗X ^* = (X⊗Q) ^* = X ^* ⊗Q，留下

X ₂ ⊗X ₁ ^* = Q ₁₂ ⊗X ₁ ⊗X ₁ ^* ⊗Q ₁₂ = Q ₁₂ ⊗Q ₁₂

所以四元数变换可以直接求解为

Q ₁₂ = √(X ₂ ⊗X ₁ ^* )

您需要自己计算四元数的平方根。有很多方法可以做到这一点，最好的方法取决于您的应用程序，考虑速度和稳定性。

——弗莱德·
克林格纳