BCNF 和 4NF 属性

Question

我读到一篇声明“BCNF 中至少有一个简单候选键的关系 R 也在 4NF 中”

我不认为这总是正确的，但我无法证明这一点。

有人可以帮忙吗？

Answer 1

该陈述是正确的，这是取自论文 “Simple Conditions for Ensureing High Normal Forms in Relational Databases”的证明草图，作者：CJDate 和 R.Fagin，ACM TODS，第 17 卷，第 3 期，1992 年 9 月。

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如果对于 F+ 中的每个非平凡多值依赖 X \xe2\x86\x92\xe2\x86\x92 Y，X 是 R 的超键，则关系属于 4NF。因此，如果关系属于 BCNF，但不属于 4NF，那么必须存在一个非平凡的多值依赖（MVD） X \xe2\x86\x92\xe2\x86\x92 Y 使得 X 不是键。我们将证明这与关系是 BCNF 并且具有由唯一属性（简单候选键）构成的候选键 K 的事实相矛盾。

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考虑这样一个事实，在关系 R(T) 中，当我们有一个非平凡的 MVD X \xe2\x86\x92\xe2\x86\x92 Y（假设，不失一般性，X 和 Y 不相交），那么另外，MVD 依赖项 X \xe2\x86\x92\xe2\x86\x92 Z必须保持相同的关系，其中 Z = T - X - Y（即 Z 是该关系的所有其他属性）。现在我们可以证明每个候选键必须至少包含一个 Z 属性和一个 Y 属性（因此它必须至少包含 2 个属性！）。

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由于我们有 X \xe2\x86\x92\xe2\x86\x92 Y 和 X \xe2\x86\x92\xe2\x86\x92 Z，并且 X 不是候选键，因此假设假设为假，即存在一个候选 K，它不包含 Y 的成员（并且为了对称性，也不包含 Z 的成员）。但是，由于 K 是键，因此我们有 K \xe2\x86\x92 Y，其中 K 和 Y 不相交。

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现在，有一个推理规则，一般来说，如果 V \xe2\x86\x92\xe2\x86\x92 W 和 U \xe2\x86\x92 W，其中 U 和 W 不相交，则 V \xe2 \x86\x92 W.

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将此规则应用于我们的情况，由于 X \xe2\x86\x92\xe2\x86\x92 Y 和 K \xe2\x86\x92 Y，我们可以说 X \xe2\x86\x92 Y。矛盾，因为我们已经说过R在BCNF中，而X不是候选键。

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换句话说，如果关系不属于 4NF，则每个键必须至少有 2 个属性。

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给定初始假设，即我们在 BCNF 中存在至少一个简单候选键的关系，对于前面的引理，该关系必须在 4NF 中（否则每个键应由至少 2 个属性构成！）。

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