计算平滑度为 100% 的平滑顶点法线的一般方法

Question

我在网上看了很长时间，找不到这个问题的答案。为简单起见，让我们假设我需要完全平滑一组连接面的法线。我想找到一组向量之间的实际几何平分线，忽略重复的法线并保持三角形汤的准确性。基本上，它需要：

• 使用三角形汤 - 无论是三个、4 个还是 4000 个三角形，法线仍然需要以几何正确的方式协同工作，而不会偏向于任意区域
• 忽略重叠（平行）法线 - 如果我有一个立方体的边，它聚集在 3 个三角形中，或者一个三角形的两个边中的每一边都聚集在一个三角形中，最后一侧有 2 个（或更多）个三角形，或者一个有 100 万个三角形只有一侧的三角形，平分线不能改变

我似乎找到的最常见的法线平滑公式是，通过将法线向量相加并除以三来简单地平均它们；例子：

normalize((A + B + C) / 3);

当然除以三是没有用的，这已经代表了人们提出的天真、自以为是的蛮力平均法的氛围；与此有关的问题还在于，即使是三角形汤和平行法线，它也会把时间弄得一团糟。

我似乎发现的另一个评论是保留初始“面”法线，因为它们来自生成它们的常见交叉乘法运算，因为这样它们（有点）相对于三角形的面积加权。在某些情况下，这可能是您想要做的事情，但是我需要纯平分线，因此面积不能影响公式，即使考虑到它，它仍然会被三角汤弄乱。

我看到了一个提到的方法，它说对相邻面之间的角度进行加权，但我似乎无法正确实施该公式 - 要么是那样，要么不是我想要的。然而，这对我来说很难说，因为我找不到一个简洁的解释，而且我的头脑因所有这些浪费的头脑风暴而变得麻木。

有人知道通用公式吗？如果有任何帮助，我正在使用 C++ 和 DirectX11。

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编辑：这里有一些类似的问题，描述了一些方法；

• 如何实现平滑的切线空间法线？
• 计算网格的顶点法线
• 计算三角形网格中的法线
• Blender 如何计算顶点法线？
• 从一组三角形计算顶点法线的最有效算法用于 Gouraud 着色

还有这篇文章：http : //www.bytehazard.com/articles/vertnorm.html

不幸的是，我尝试的实现不起作用，我找不到关于哪个公式实际上是我需要的一个清晰、简洁的声明。经过反复试验，我终于发现按角度加权是正确的方法，只是我无法正确实现它；因为它现在似乎正在工作，所以我将在下面添加我的实现作为答案。

Answer 1

正确的方法是根据边/角中共享的两个相邻顶点之间的角度对“面”法线进行加权。

（此处显示了相对于每个面的角度）

下面是一个示例实现的概要：

for (int f = 0; f < tricount; f++)
{
    // ...
    // p1, p2 and p3 are the points in the face (f)

    // calculate facet normal of the triangle using cross product;
    // both components are "normalized" against a common point chosen as the base
    float3 n = (p2 - p1).Cross(p3 - p1);    // p1 is the 'base' here

    // get the angle between the two other points for each point;
    // the starting point will be the 'base' and the two adjacent points will be normalized against it
    a1 = (p2 - p1).Angle(p3 - p1);    // p1 is the 'base' here
    a2 = (p3 - p2).Angle(p1 - p2);    // p2 is the 'base' here
    a3 = (p1 - p3).Angle(p2 - p3);    // p3 is the 'base' here

    // normalize the initial facet normals if you want to ignore surface area
    if (!area_weighting)
    {
        normalize(n);
    }

    // store the weighted normal in an structured array
    v1.wnormals.push_back(n * a1);
    v2.wnormals.push_back(n * a2);
    v3.wnormals.push_back(n * a3);
}
for (int v = 0; v < vertcount; v++)
{
    float3 N;

    // run through the normals in each vertex's array and interpolate them
    // vertex(v) here fetches the data of the vertex at index 'v'
    for (int n = 0; n < vertex(v).wnormals.size(); v++)
    {
        N += vertex(v).wnormals.at(n);
    }

    // normalize the final normal
    normalize(N);
}

这是法线的“天真”平均值示例（即没有角度加权）；

您可以看到小平面组件完全相同，但由于某些侧面有两个面，因此它们的插值部分加倍，从而使平均值偏斜。仅针对表面积而不是角度进行加权会产生类似的结果。

这是同一个模型，但启用了角度加权；

现在插值法线在几何上都是正确的。