振荡功能的集成无法在python中收敛

Question

我想使用scipy.integrate.quad评估函数的积分。这是被积数的样子： 我们可以注意到，该被积物的大部分贡献将来自.1到4或5 ish。当x = 10或更大时，尽管该函数具有振荡性（很难在图片上说出），但它非常小并且会越来越小。

这是从0到某个上限的积分结果。积分的上限在x轴上。 在这里，虽然结果对于前一百个x来说似乎是稳定的，但即使我期望一条直线，情况也不再如此。

我是python的新手，我不知道什么是最好的操作方法。现在，我最好的猜测是将小于100的某个值作为我的积分的上限，并舍弃其他值，因为这只是来自tegral.quad的不良收敛。

编辑： 要绘制第二张图，我使用了scipy.integrate.quad函数。但是，如果仅用生成的点来绘制被积物（第一个图），然后在scipy.integrate.simps中使用该点，并改变最大积分倍数，我将得到一致的结果。

Answer 1

当被积物具有比积分范围小得多的重要特征时，自适应quad例程可能会“忽略”它。相反，simps如果使用足够精细的网格，不要错过它们，但是可能需要更长的时间进行评估。我将描述两种解决方法，第二种是更实际的方法。

点参数

您可以使用的points参数quad来确保不会发生这种情况。这是一个示例，其中我exp(-x**2)在区间[-1000，5000]上积分了高斯函数。该函数位于0附近。几乎所有这些都在[-5,5]区间内，所以我包括points=[-5, 5]确保不会忽略此范围。（这些点必须在积分范围内，因此在的范围内if）。

import numpy as np
from scipy.integrate import quad
import matplotlib.pyplot as plt

f = lambda x: np.exp(-x**2) 
numpoints = 1000
t = np.linspace(-1000, 5000, numpoints)
y = np.zeros((numpoints,))

for i in range(numpoints):
    y[i] = quad(f, -1000, t[i])[0]      # integration without points
plt.plot(t, y, 'r') 

for i in range(numpoints):            # using points if upper bound is above 5 
    y[i] = quad(f, -1000, t[i], points=[-5,5])[0] if t[i] > 5 else quad(f, -1000, t[i])[0]
plt.plot(t, y, 'b') 
plt.show()

红色曲线是不带输出points，蓝色曲线是带points。后者的行为应为：从0上升到pi / 2并停留在那里。

重用以前的计算

在多个点上计算反导数的一种更有效的方法是使用先前计算的值，并向其添加未积分的区间的贡献。

y = np.zeros((numpoints,))
for i in range(1, numpoints):
    y[i] = y[i-1] + quad(f, t[i-1], t[i])[0]
plt.plot(t, y, 'g') 

与上面的蓝色曲线具有相同的输出。