分解二维变换矩阵

Question

所以，我有一个 Direct2D Matrix3x2F，我用它来存储几何上的转换。我希望这些转换是用户可编辑的，并且我不希望用户必须直接编辑矩阵。是否可以将 3x2 矩阵分解为缩放、旋转、倾斜和平移？

Answer 1

这是我为 Direct2D 转换矩阵找到的解决方案：

• 比例 x = sqrt(M11 * M11 + M12 * M12)

• 规模 y = sqrt(M21 * M21 + M22 * M22) * cos(shear)

• 旋转 = atan2(M12, M11)

• 剪切 (y) = atan2(M22, M21) - PI/2 - rotation

• 翻译 x = M31

• 翻译 y = M32

如果将这些值按顺序相乘，scale(x, y) * skew(0, shear) * rotate(angle) * translate(x, y)您将得到一个执行等效变换的矩阵。

Answer 2

1. 分解

   是的，你可以（至少部分）。 3x2变换矩阵表示没有投影的 2D 同质 3x3 变换矩阵。这样的变换矩阵可以是OpenGL风格：

    | Xx Yx Ox |
    | Xy Yy Oy |
   

   或DirectX风格：

    | Xx Xy |
    | Yx Yy |
    | Ox Oy |
   

   当您标记Direct2D并使用3x2矩阵时，第二个就是您得到的。有3向量：

   
   X=(Xx,Xy) X轴向量
   Y=(Yx,Yy) Y轴向
   O=(Ox,Oy)量 坐标系的原点。

   现在假设不存在偏斜并且矩阵是正交的......

2. 缩放

   非常简单，只需获取轴基向量长度即可。

    scalex = sqrt( Xx^2 + Xy^2 );
    scaley = sqrt( Yx^2 + Yy^2 );
   

   如果比例系数是>1矩阵则按比例放大，如果则按<1比例缩小。

3. 回转

   您可以使用：

    rotation_ang=atan2(Xy,Yx);
   

4. 翻译

   偏移量是O这样的，如果它不为零，则表示存在翻译。

5. 倾斜

   在2D倾斜中，事情不会变得太复杂，上面的要点仍然适用（3D 情况并非如此）。倾斜角度是轴之间的角度减去90度数，因此：

    skew_angle = acos((X.Y)/(|X|.|Y|)) - 0.5*PI;
    skew_angle = acos((Xx*Yx + Xy*Yy)/sqrt(( Xx^2 + Xy^2 )*( Yx^2 + Yy^2 ))) - 0.5*PI;
   

另请注意，如果您的变换矩阵不代表您的坐标系而是其逆矩阵，那么您需要在应用此矩阵之前反转您的矩阵...

因此计算第一个倒数：

| Xx Xy 0 |
| Yx Yy 0 |
| Ox Oy 1 |

并将上述结果应用到结果上。

有关此主题的更多信息，请参阅：

• 理解 4x4 齐次变换矩阵

特别是列主序和行主序之间的差异（OpenGL与DirectX表示法）