如何创建对称矩阵,其中每行/列是已知向量的子集

Question

我有一个7*1的矢量a = (1:7).'.我想A从矢量形成一个大小为4*4 的矩阵,使得形成矩阵的反对角线a的元素如下:aA

A = [1 2 3 4;
     2 3 4 5;
     3 4 5 6;
     4 5 6 7]

我希望这适用于一般a,而不仅仅是元素是连续整数.

我感谢任何帮助.

Answer 1

设置索引

添加两个输出meshgrid可以给出索引:

[x, y] = meshgrid(1:4, 0:3);
x + y;
% ans = [1     2     3     4
%        2     3     4     5
%        3     4     5     6
%        4     5     6     7];

如果a在你的例子中,你可以在那里停止.或者,使用它来索引一般向量a.为了比较,我将使用与rahnema1相同的示例输入为他们的方法:

a = [4 6 2 7 3 5 1];
[x, y] = meshgrid(1:4, 0:3);
A = a(x + y);    
% A = [4     6     2     7
%      6     2     7     3
%      2     7     3     5
%      7     3     5     1] 

有很多方法可以创建,而不是使用索引meshgrid,请参见下面的标杆功能对于一些exampels!

基准测试和七种不同的方法.

下面是一些定时运行不同的方法,包括使用方法cumsum,repmat,hankel一个简单的和for循环.这个基准测试是在Matlab 2015b中完成的,因此利用了Matlab优化等优点,而rahnema1的答案中的Octave基准可能无法做到.我也使用timeit比tic/ 更健壮的功能,toc因为它进行多次试验等.

function benchie()
    n = 10000;    % (large) square matrix size
    a = 1:2*n-1;  % array of correct size, could be anything this long
    f1 = @() m1(a,n);  disp(['bsxfun:   ', num2str(timeit(f1))]);
    f2 = @() m2(a,n);  disp(['cumsum:   ', num2str(timeit(f2))]);
    f3 = @() m3(a,n);  disp(['meshgrid: ', num2str(timeit(f3))]);
    f4 = @() m4(a,n);  disp(['repmat:   ', num2str(timeit(f4))]);
    f5 = @() m5(a,n);  disp(['for loop: ', num2str(timeit(f5))]);
    f6 = @() m6(a,n);  disp(['hankel1:  ', num2str(timeit(f6))]); 
    f7 = @() m7(a,n);  disp(['hankel2:  ', num2str(timeit(f7))]); 
end
% Use bsxfun to do broadcasting of addition
function m1(a,n); A = a(bsxfun(@plus, (1:n), (0:n-1).')); end
% Use cumsum to do cumulative vertical addition to create indices
function m2(a,n); A = a(cumsum([(1:n); ones(n-1,n)])); end
% Add the two meshgrid outputs to get indices
function m3(a,n); [x, y] = meshgrid(1:n, 0:n-1); A = a(x + y); end
% Use repmat twice to replicate the meshgrid results, for equivalent one liner
function m4(a,n); A = a(repmat((1:n)',1,n) + repmat(0:n-1,n,1)); end
% Use a simple for loop. Initialise A and assign values to each row in turn
function m5(a,n); A = zeros(n); for ii = 1:n; A(:,ii) = a(ii:ii+n-1); end; end
% Create a Hankel matrix (constant along anti-diagonals) for indexing
function m6(a,n); A = a(hankel(1:n,n:2*n-1)); end
% Create a Hankel matrix directly from elements
function m7(a,n); A = hankel(a(1:n),a(n:2*n-1)); end

输出:

bsxfun:   1.4397 sec
cumsum:   2.0563 sec
meshgrid: 2.0169 sec
repmat:   1.8598 sec
for loop: 0.4953 sec % MUCH quicker!
hankel1:  2.6154 sec
hankel2:  1.4235 sec

所以你最好使用rahnema1的建议bsxfun或直接生成一个hankel矩阵,如果你想要一个衬里,这里有一个很棒的StackOverflow答案,它解释了一些bsxfun优点:在Matlab中,何时使用bsxfun是最佳的？

但是,for循环速度快了两倍!结论:Matlab有很多简洁的方法来实现这样的事情,有时候是一个简单的for循环,有一些适当的预分配,Matlab的内部优化可能是最快的.

Answer 2

你可以使用hankel:

n= 4;
A= hankel(a(1:n),a(n:2*n-1))

其他解决方案(扩展/ bsxfun):

在MATLAB中r2016b/Octave它可以创建为:

A = a((1:4)+(0:3).')

在r2016b之前,您可以使用bsxfun:

A = a(bsxfun(@plus,1:4, (0:3).'))

输入/输出示例

a = [4 6 2 7 3 5 1]

A =

   4   6   2   7
   6   2   7   3
   2   7   3   5
   7   3   5   1

使用@Wolfie在Octave中测试的基准测试:

 _____________________________________
|Method   |memory peak(MB)|timing(Sec)|
|=========|===============|===========|
|bsxfun   |2030           |1.50       |
|meshgrid |3556           |2.43       |
|repmat   |2411           |2.64       |
|hankel   |886            |0.43       |
|for loop |886            |0.82       |