我可以使用lambdify评估python函数的派生形式吗？

Question

我昨天问了一个问题关于区分python函数的问题，然后当我发现张贴的答案都不能满足我对某些变量的求值（然后绘制导数）的需要时，我便能找到自己的解决方案。

先前的代码：

import sympy as sym
import math


def f(x,y):
    return x**2 + x*y**2


x, y = sym.symbols('x y')

def fprime(x,y):
    return sym.diff(f(x,y),x)

print(fprime(x,y)) #This works.

print(fprime(1,1)) 

新代码：

import sympy as sym
import math


def f(x,y):
    return x**2 + x*y**2


x, y = sym.symbols('x y')

def fprime(x,y):
    return sym.diff(f(x,y),x)

print(fprime(x,y)) #This works.

DerivativeOfF = sym.lambdify((x,y),fprime(x,y),"numpy")

print(DerivativeOfF(1,1))

如您所见，我通过创建新函数DerivativeOfF克服了无法评估派生fprime的功能，该函数是fprime的“ lambdified”版本。从那里，我能够评估DerivativeOfF，并将其绘制在变量之一中。

我的问题是：为什么要这样做？我到底做了什么？这种方法有什么缺点？我曾尝试阅读过lambdify文档，但对我来说却非常混乱（我是Python的初学者）。我的猜测是我将Python函数fprime转换为Sympy表达式DerivativeOfF或类似的东西。任何帮助解释发生了什么事，为什么发生以及lambdify所做的事情（以外行的术语）的帮助，将不胜感激。

Answer 1

让我们看看我是否可以说明这个动作。我很了解 Python numpy，但没有使用sympy太多（但使用过其他符号代数包，例如macsyma）。

在 ipython numpy 会话中：

In [1]: def f(x,y):
   ...:     return x**2 + x*y**2
   ...: 
In [2]: f(1,3)
Out[2]: 10
In [3]: f(np.arange(1,4), np.arange(10,13))
Out[3]: array([101, 246, 441])

f是一个Python函数；它返回的内容取决于输入如何处理*、**和 等操作+。标量和数组都有效。列出句柄+和*（连接、复制），但不列出**。

In [4]: import sympy as sym
In [5]: x, y = sym.symbols('x y')
In [6]: type(x)
Out[6]: sympy.core.symbol.Symbol
In [7]: x+y
Out[7]: x + y
In [8]: type(_)
Out[8]: sympy.core.add.Add

定义symbols创建了几个新对象。+他们以自己的象征方式处理等。

In [9]: fsym = f(x,y)
In [10]: type(fsym)
Out[10]: sympy.core.add.Add
In [11]: print(fsym)
x**2 + x*y**2

f使用这 2 个符号对象进行调用会创建一个新的 sym 对象。我还可以用符号和数字甚至数组的其他组合来调用它。

In [12]: f(x,0)
Out[12]: x**2
In [13]: f(1,x)
Out[13]: x**2 + 1
In [14]: f(np.arange(3), x)
Out[14]: array([0, x**2 + 1, 2*x**2 + 4], dtype=object)

如果我将此Add对象传递给我，sym.diff我会得到一个新Add对象

In [15]: fprime = sym.diff(fsym,x)
In [16]: fprime
Out[16]: 2*x + y**2

也不fsym是fprime可调用的。它们不是 Python 函数。fsym(1,2)不起作用。

但fsym.subs可以用来替换xor/andy为其他值，无论是数字还是其他符号：

In [19]: fsym.subs(x,1)
Out[19]: y**2 + 1
In [20]: fsym.subs(y,2*x)
Out[20]: 4*x**3 + x**2
In [21]: fsym.subs([(x,1),(y,2)])
Out[21]: 5
In [22]: fprime.subs([(x,1),(y,2)])
Out[22]: 6

lambdify是一个sympy函数，它接受一个 sympy 对象并返回一个 Python 函数，可能是numpy兼容的。

In [24]: fl = sym.lambdify((x,y), fsym, "numpy")
In [25]: fl
Out[25]: <function numpy.<lambda>>
In [26]: fl(1,2)
Out[26]: 5
In [27]: fl(np.arange(1,4), np.arange(10,13))   # cf with f(same) above
Out[27]: array([101, 246, 441])

这个fl功能和原来的类似f。它并不相同，例如它有一个help/doc表达式。

lambdify应用于fprime做同样的事情，但使用不同的符号表达式：

In [28]: fpl = sym.lambdify((x,y), fprime, "numpy")
In [29]: fpl(1,2)
Out[29]: 6
In [30]: fpl(np.arange(1,4), np.arange(10,13))
Out[30]: array([102, 125, 150])

python/numpy 函数或表达式与 sympy 函数或表达式之间的这种透明度是有限制的。另一个（已删除）答案试图探索这些。math.sin例如，numpy.sin和之间存在差异sym.sin。

在这些示例中，微分是通过sym.diff函数象征性地完成的。

In [35]: fsym
Out[35]: x**2 + x*y**2
In [36]: fprime
Out[36]: 2*x + y**2

sym.lambdify只是将这些 sympy 对象转换为 Python 函数的一种方法。

三角函数例子

在其他答案的讨论中选取示例

sym定义使用sin/cos 版本的函数：

In [53]: def f1(x,y):
    ...:     return sym.sin(x) + x*sym.sin(y)
    ...: 
In [54]: f1(x,y)
Out[54]: x*sin(y) + sin(x)
In [55]: f1(1,2)
Out[55]: sin(1) + sin(2)
In [56]: f1(1, np.arange(3)
...
SympifyError: Sympify of expression 'could not parse '[0 1 2]'' failed, because of exception being raised:
SyntaxError: invalid syntax (<string>, line 1)

我认为因为sym.sin(<array>)行不通；它必须是np.sin(...)，但这不适用于符号。

和以前一样，我们可以采用符号导数：

In [57]: sym.diff(f1(x,y),x)
Out[57]: sin(y) + cos(x)
In [58]: sym.diff(f1(x,y),y)
Out[58]: x*cos(y)
In [59]: sym.diff(sym.diff(f1(x,y),x),y)
Out[59]: cos(y)

同样，这些都不起作用。必须使用subs或进行评估lambdify。

In [60]: f2 = sym.lambdify((x,y),f1(x,y),"numpy")
In [61]: f2
Out[61]: <function numpy.<lambda>>
In [62]: f2(1, np.arange(3))
Out[62]: array([ 0.84147098,  1.68294197,  1.75076841])

我可以f2使用数组输入进行评估，而我无法使用f1. 大概sympy可以np.sin替代sym.sin.

事实上，当我尝试f2用符号进行评估时，numpy会抱怨：

In [63]: f2(1,y)
...
/usr/local/lib/python3.5/dist-packages/numpy/__init__.py in <lambda>(_Dummy_30, _Dummy_31)
AttributeError: 'Symbol' object has no attribute 'sin'

In [66]: sym.diff(f2(x,y),x)
 ....
AttributeError: 'Symbol' object has no attribute 'sin'