快速排序的最大元素交换数量

Question

快速排序的最大元素交换数量

我正在阅读Robert Sedgewick的“算法”书并完成练习，以提高我的算法知识。我遇到一个困难：

对于长度为N的数组，在Quick.sort（）执行期间最大项可以交换的最大次数是多少？

我已经通过实验确定floor(N/2)，假设数组中的所有元素都是不同的，则最大项的最大交换数为。如何数学证明呢？如果我错了，那我怎么了？

我发现了这个问题的一些提及（例如this），但是答案与我的结果不符。该答案表明最大数量为N-1，但是我找不到这样的数组N-1，当使用我的quicksort版本对它进行排序时，这将使我能够准确交换其最大项目（请参见下文）。

我使用的quicksort代码：

template<typename BiDirIterator, typename Compare = std::less<typename BiDirIterator::value_type>>
BiDirIterator partition(BiDirIterator begin, BiDirIterator end, Compare compare = Compare())
{
    auto partition_item = begin;
    while (true)
    {
        while (++begin != end && !compare(*partition_item, *begin));
        while (begin != end && !compare(*--end, *partition_item));

        if (begin == end)
            break;

        std::iter_swap(begin, end);
    }

    if (partition_item != --begin)
        std::iter_swap(partition_item, begin);

    return begin;
}

template<typename BiDirIterator, typename Compare = std::less<typename BiDirIterator::value_type>>
void quicksort(BiDirIterator begin, BiDirIterator end, Compare compare = Compare())
{
    if (begin == end || std::next(begin) == end)
        return;

    auto pos = partition(begin, end, compare);
    quicksort(begin, pos, compare);
    quicksort(++pos, end, compare);
}

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以及我用来计算最迟项目交换数量的代码：

struct exchange_counter
{
    exchange_counter(int value)
        : value(value)
    {
    }

    int value;
    int number_of_exchanges = 0;

    exchange_counter(const exchange_counter& other) = default;
    exchange_counter& operator=(const exchange_counter& other) = default;
    exchange_counter(exchange_counter&& other) = default;

    exchange_counter& operator=(exchange_counter&& other)
    {
        value = other.value;
        number_of_exchanges = other.number_of_exchanges + 1;
        return *this;
    }

    friend bool operator<(const exchange_counter& left, const exchange_counter& right) noexcept
    {
        return left.value < right.value;
    }

    friend bool operator==(const exchange_counter& left, const exchange_counter& right) noexcept
    {
        return left.value == right.value;
    }
};

for (int i = 1; i != 15; ++i)
{
    std::vector<exchange_counter> values;
    for (int j = 0; j != i; ++j)
        values.emplace_back(j);

    auto max_element = i - 1;
    auto max_number_of_exchanges = 0;
    do
    {
        for (auto& value : values)
            value.number_of_exchanges = 0;

        auto copy = values;
        quicksort(copy.begin(), copy.end());
        max_number_of_exchanges = (std::max)(max_number_of_exchanges,
            std::find(copy.begin(), copy.end(), max_element)->number_of_exchanges);
    }
    while (std::next_permutation(values.begin(), values.end()));

    std::cout << "Elements: " << i << "; max exchanges: " << max_number_of_exchanges << std::endl;
}

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PS。如果我std::sort使用相同的方法在Visual Studio 2015（作为快速排序实现）中进行测试，则最大项目的交换次数为N - 1。