用python查找先验方程的根

Question

我必须解决以下先验方程

cos（x）/ x = c

给定常数c。

例如，我在Mathematica中编写了一个简短的代码，在其中生成了常数c的随机值列表

const = Table[RandomReal[{0, 5}], {i, 1, 10}]

(*{1.67826, 0.616656, 0.290878, 1.10592, 0.0645222, 0.333932, 3.59584, \
2.70337, 3.91535, 2.78268}*)

比我定义的功能

f[x_, i_] := Cos[x]/x - const[[i]]

并开始寻找根源：

Table[FindRoot[f[x, i] == 0, {x, 0.1}][[1, 2]], {i, 1, Length[const]}]
(*{0.517757, 0.947103, 1.21086, 0.694679, 1.47545, 1.16956, 0.26816, \
0.347764, 0.247615, 0.338922}*)

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现在，我想用python编程类似的东西（可能使用numpy？），但是我真的找不到像这样的问题的任何现有的好答案。有人可以帮忙吗？

Answer 1

我过去实现此目标的一种方法是使用scipy.optimize.minimize求平方函数的最小值。

from scipy.optimize import minimize
from numpy import cos

def opt_fun(x, c):
    return (cos(x)/x - c)**2

const = 1.2
res = minimize(lambda x: opt_fun(x, const), x0=0.001)

# Check if the optimization was successful
print(res.success)
# >> True

# Extract the root from the minimization result
print(res.x[0])
# >> 0.65889256782472172

这绝不是万无一失的，但是它可以快速准确。例如，如果有多个根，minimize将从您选择的初始点开始在“下坡方向”中找到一个根，这就是为什么我在上面选择了一个小的正值的原因。

对于最小化问题，始终需要注意的另一个问题是数量级明显不同的数字。在您的方程中，当c正数很大时，第一个正根就很小。如果最终想在这种情况下找到根源，则可能需要将两者都缩放x到接近1才能获得准确的结果（此处为示例）。

Answer 2

或者，您可以使用root：

import numpy as np
from scipy.optimize import root

def func_cos(x, c):
    return np.cos(x) / x - c

crange = range(1, 11)

res = [root(func_cos, 0.5, args=(ci, )).x[0] for ci in crange]

然后res看起来如下：

[0.73908513321516056,
 0.45018361129487355,
 0.31675082877122118,
 0.24267468064089021,
 0.19616428118784215,
 0.16441893826043114,
 0.14143076140757282,
 0.12403961812459068,
 0.11043425911223313,
 0.099505342687387879]

如果您对使用求解方程组感兴趣，root可以查看此答案。