Runge-Kutta算法C ++

Question

下面是我的四阶Runge-Kutta算法，用于求解一阶ODE。我对照此处找到的Wikipedia示例进行检查以解决：

\frac{dx}{dt} = tan(x) + 1

不幸的是一点点。我玩了很长时间，但找不到错误。答案应该是t = 1.1和x = 1.33786352224364362。以下代码给出了t = 1.1和x = 1.42223。

/*

This code is a 1D classical Runge-Kutta method. Compare to the Wikipedia page.

*/

#include <math.h> 
#include <iostream>
#include <iomanip>

double x,t,K,K1,K2,K3,K4;

const double sixth = 1.0 / 6.0;

static double dx_dt(double t, double x){
    return tan(x) + 1;
}

int main(int argc, const char * argv[]) {

/*======================================================================*/
/*===================== Runge-Kutta Method for ODE =====================*/
/*======================================================================*/

double t_initial = 1.0;// initial time
double x_initial = 1.0;// initial x position

double t_final = 1.1;// value of t wish to know x 
double dt = 0.025;// time interval for updates
double halfdt = 0.5*dt;

/*======================================================================*/

while(t_initial < t_final){

    /*============================ Runge-Kutta increments =================================*/ 

    double K1 = dt*dx_dt( t_initial, x_initial );
    double K2 = dt*dx_dt( t_initial + halfdt, x_initial + halfdt*K1 );
    double K3 = dt*dx_dt( t_initial + halfdt, x_initial + halfdt*K2 );
    double K4 = dt*dx_dt( t_initial + dt, x_initial + dt*K3 );

    x_initial += sixth*(K1 + 2*(K2 + K3) + K4);

    /*============================ prints =================================*/

    std::cout << t_initial << std::setw(16) << x_initial << "\n";

    /*============================ re-setting update conditions =================================*/

    t_initial += dt;

    /*======================================================================*/
}

std::cout<<"----------------------------------------------\n";
std::cout << "t =  "<< t_initial << ",  x =  "<< x_initial << std::endl; 


}/* main */

Answer 1

问题在于，用于代码的表与您在维基百科中引用的表的表不同。您正在使用的是这样的：

0   |
1/2 |   1/2
1/2 |   0       1/2
1   |   0       0       1   
-------------------------------------
    |   1/6     1/3     1/3     1/6

维基百科中使用的是

0   |
2/3 |   2/3     
---------------------
    |   1/4     3/4

根据步长大小，不同的表格会产生不同的结果，这是用于确保步长大小足以满足一定精度的方法。但是，当时dt -> 0，所有表格都是相同的。

除此之外，即使对于RK4，您的代码仍然是错误的。该函数的第二部分应减半，而不是0.5*dt：

double K1 = dt*dx_dt( t_initial, x_initial );
double K2 = dt*dx_dt( t_initial + halfdt, x_initial + 0.5*K1 );
double K3 = dt*dx_dt( t_initial + halfdt, x_initial + 0.5*K2 );
double K4 = dt*dx_dt( t_initial + dt, x_initial + K3 );