外积在 R 中如何工作？

Question

作为尝试矢量化循环的一部分，我偶然发现outer(X, Y, FUN = "*", ...)了R.

我试图了解如何逐步重现以下结果：

set.seed(1)
b = rnorm(3, 0, 1)
t = rnorm(5)

使用outer()withFUN参数，-我得到以下输出：

> outer(t, b, "-")
           [,1]       [,2]        [,3]
[1,] -0.9134962 -1.7235934 -0.70432143
[2,] -0.3021132 -1.1122104 -0.09293842
[3,]  0.3317334 -0.4783638  0.54090817
[4,]  0.6206866 -0.1894105  0.82986144
[5,]  3.0311072  2.2210101  3.24028200

正如我所得到的，使用outer()withFUN参数*：

> outer(t, b, "*")
             [,1]         [,2]         [,3]
[1,]  0.964707572 -0.282801545  1.286826317
[2,]  0.581704357 -0.170525137  0.775937183
[3,]  0.184628747 -0.054123443  0.246276838
[4,]  0.003612867 -0.001059103  0.004819215
[5,] -1.506404279  0.441598542 -2.009397175

我能够outer(t, b, "*")通过 do 来重现t %*% t(b)，但我不知道如何做到这一点outer(t, b, "-")。

我对矩阵代数的了解相当有限，但我想尝试一下。你能帮我么：

• FUN重现设置为的情况-
• 阐明FUN实际的作用是什么？

谢谢。

Answer 1

该问题已迁移stats.stackexchange，原始答案包括数学方程。您可以在下面找到原始文本以及保留格式的图片。

图像（保留格式）

原文

两个向量 $x,y$（不需要具有相同维度）的外积通常写为 $xy^T$，或者更详细地说，$$ \begin{pmatrix} x_1 \ x_2 \ \vdots \ x_n \end{pmatrix} \cdot
\begin{pmatrix} y_1 & y_2 & \dots & y_m \end{pmatrix} $$ 结果是 $n \times m $ 矩阵 $$ \begin{pmatrix} x_1 y_1 & x_1 y_2 & \dots x_1 y_m \ x_2 y_1 & x_2 y_2 & \dots x_2 y_m \ \vdots \ x_n y_1 & x_n y_2 & \dots & x_n y_m \end{pmatrix} $$ 所以，你可以看到，结果是$n\times m$ 矩阵，其中元素 $i,j$ 由 $x_i \cdot y_j$ 给出。所以这是外积，其中 FUN 是普通乘法。一般来说，结果是相同的，总是一个 $n \times m$ 矩阵，其中普通乘法被替换为任意两位函数 $\text{FUN}(x,y)$，所以如果该函数是普通减号，$-$则$i,j$元素变为$x_i - y_j$，如果FUN是幂，$\text{FUN}(x,y) = x^y$则$i,j$元素变为 $x_i^{y_j}$，依此类推。

这甚至可以与非数字函数一起使用。