随机SVD奇异值

Question

随机SVD通过使用k + p个随机投影提取前k个奇异值/向量来分解矩阵.这对于大型矩阵来说效果非常好.

我的问题涉及从算法输出的奇异值.如果你做完整的SVD,为什么这些值不等于第一个k-奇异值？

下面我在R中有一个简单的实现.任何有关改善性能的建议都将受到赞赏.

rsvd = function(A, k=10, p=5) {
       n = nrow(A)
       y = A %*% matrix(rnorm(n * (k+p)), nrow=n)
       q = qr.Q(qr(y))
       b = t(q) %*% A
       svd = svd(b)
       list(u=q %*% svd$u, d=svd$d, v=svd$v)
       }

> set.seed(10)

> A <- matrix(rnorm(500*500),500,500)

> svd(A)$d[1:15]
 [1] 44.94307 44.48235 43.78984 43.44626 43.27146 43.15066 42.79720 42.54440 42.27439 42.21873 41.79763 41.51349 41.48338 41.35024 41.18068

> rsvd.o(A,10,5)$d
 [1] 34.83741 33.83411 33.09522 32.65761 32.34326 31.80868 31.38253 30.96395 30.79063 30.34387 30.04538 29.56061 29.24128 29.12612 27.61804

Answer 1

计算

我认为你的算法是Martinsson 等人算法的修改。。如果我理解正确的话，这尤其适用于低秩矩阵的近似。但我可能是错的。

这种差异很容易解释为 A (500) 的实际排名与 k (10) 和 p (5) 的值之间的巨大差异。另外，Martinsson 等人提到 p 的值实际上应该大于 k 的选定值。

因此，如果我们应用您的解决方案并考虑到他们的考虑，请使用：

set.seed(10)
A <- matrix(rnorm(500*500),500,500) # rank 500
B <- matrix(rnorm(500*50),500,500)  # rank 50

我们发现，与原始 svd 算法相比，使用较大的 p 值仍然会带来巨大的加速。

> system.time(t1 <- svd(A)$d[1:5])
   user  system elapsed 
    0.8     0.0     0.8 

> system.time(t2 <- rsvd(A,10,5)$d[1:5])
   user  system elapsed 
   0.01    0.00    0.02 

> system.time(t3 <- rsvd(A,10,30)$d[1:5])
   user  system elapsed 
   0.04    0.00    0.03 

> system.time(t4 <- svd(B)$d[1:5]       )
   user  system elapsed 
   0.55    0.00    0.55 

> system.time(t5 <-rsvd(B,10,5)$d[1:5]  )
   user  system elapsed 
   0.02    0.00    0.02 

> system.time(t6 <-rsvd(B,10,30)$d[1:5]  )
   user  system elapsed 
   0.05    0.00    0.05 

> system.time(t7 <-rsvd(B,25,30)$d[1:5]  )
   user  system elapsed 
   0.06    0.00    0.06 

但我们看到，对较低秩矩阵使用较高的 p 确实可以提供更好的近似值。如果我们让 k 也更接近秩，则真实解和近似值之间的差异将变为 appx。0，而速度增益仍然很大。

> round(mean(t2/t1),2)
[1] 0.77

> round(mean(t3/t1),2)
[1] 0.82

> round(mean(t5/t4),2)
[1] 0.92

> round(mean(t6/t4),2)
[1] 0.97

> round(mean(t7/t4),2)
[1] 1

所以总的来说，我相信人们可以得出这样的结论：

• p 应该被选择，所以 p > k （l如果我是对的，马丁森称之为它）
• k 不应与rank(A) 相差太大
• 对于低阶矩阵，结果通常更好。

优化：

就我而言，这是一种巧妙的方法。实际上我真的找不到更优化的方法。我唯一能说的是，t(q) %*% A不建议这种构造。人们应该使用crossprod(q,A)它，这应该会快一点。但在你的例子中，差异是不存在的。