为什么我不能在 Standard ML 中比较实数？

Question

1. 为什么不起作用1.0 = 2.0？是不是真正的平等类型？

   它给出了错误：

   Error: operator and operand don't agree [equality type required]
     operator domain: ''Z * ''Z
     operand:         real * real
     in expression:
       1.0 = 2.0
   

2. 为什么模式中的实数不会像这样工作？

   fun fact 0.0 = 1.0
     | fact x = x * fact (x - 1.0)
   

   它给出了错误：

   Error: syntax error: inserting  EQUALOP
   

Answer 1

为什么不起作用1.0 = 2.0？是不是真正的平等类型？

否。类型变量''Z表示 的操作数=必须具有相等类型。

为什么模式中的实数不起作用 [...]？

模式匹配隐含地依赖于测试是否相等。神秘的错误消息syntax error: inserting EQUALOP表明 SML/NJ 解析器不允许在需要模式的地方使用浮点文字，因此阻止了程序员收到更有意义的类型错误。

详细说明，

从http://www.smlnj.org/doc/FAQ/faq.txt：

问： real 是相等类型吗？

答：它在 SML '90 和 SML/NJ 0.93 中，但不在 SML '97 和 SML/NJ 110 中。因此1.0 = 1.0会导致类型错误，因为“=”要求参数具有相等类型。此外，不能在模式中使用真正的文字。

来自http://mlton.org/PolymorphicEquality：

无法比较的一种地面类型是真实的。因此，13.0 = 14.0类型不正确。可以Real.==用来比较实数的相等性，但要注意这与多态相等性具有不同的代数性质。

例如，Real.== (0.1 + 0.2, 0.3)是false。

来自http://sml-family.org/Basis/real.html：

决定 real 是否应该是一个相等类型，如果是，那么相等意味着什么，也是有问题的。IEEE 指定在比较中忽略零的符号，并且如果任一参数为 NaN，则相等性评估为 false。

这些限制令 S​​ML 程序员感到不安。前者意味着 0 = ~0 为真，而 r/0 = r/~0 为假。后者意味着 r = r 为假这样的异常，或者，对于参考单元格 rr，我们可以有 rr = rr 但没有 !rr = !rr。我们接受了零的无符号比较，但认为应该保留自反性质相等、结构相等以及 <> 而不是 o = 的等价。

简短版本：不要使用相等来比较实数。执行epsilon 测试。我建议阅读有关http://floating-point-gui.de/errors/comparison的文章。总之：

• 不要检查实数是否相同，但如果差异非常小。

• 与差值 ( delta ) 相比较的误差幅度通常称为epsilon。

• 不要将差异与固定的epsilon进行比较：

  fun nearlyEqual (a, b, eps) = Real.abs (a-b) < eps
  

• 不要只比较与epsilon的相对差异：

  fun nearlyEqual (a, b, eps) = abs ((a-b)/b) < eps
  

• 注意边缘情况：

  • 当b = 0.0它升起时Div。（切换a并b提供对称边缘情况。）

  • 当a和b位于零的两侧时，false即使它们是最小的非零数字，它也会返回。

  • 结果不是可交换的。在某些情况下，nearlyEqual (a, b, eps)不会给出与 相同的结果nearlyEqual (b, a, eps)。

该指南提供了一个通用的解决方案；转换为标准 ML，这看起来像：

fun nearlyEqual (a, b, eps) =
    let val absA = Real.abs a
        val absB = Real.abs b
        val diff = Real.abs (a - b)
    in Real.== (a, b) orelse
     ( if Real.== (a, 0.0) orelse
          Real.== (b, 0.0) orelse
          diff < Real.minNormalPos
       then diff < eps * Real.minNormalPos
       else diff / Real.min (absA + absB, Real.maxFinite) < eps )
    end

它继续警告一些边缘情况：

在某些情况下，上述方法仍然会产生意想不到的结果（特别是，当一个值接近零时比完全为零时要严格得多），并且它开发的一些测试可能会指定不合适的行为对于某些应用程序。在使用它之前，请确保它适合您的应用程序！