在MATLAB中执行LU分解而不进行旋转

Question

我如何lu(A)在MATLAB中实现这个功能,这L*U是直接的A,我也得到了真正的L矩阵？

当我使用时[L,U] = lu(A),MATLAB没有给我正确的L矩阵.当我使用[L,U,P]= lu(A)时,我需要实现P*A = L*U,但我只想乘以L*U接收A.

Answer 1

lu默认情况下,MATLAB 始终执行旋转.例如,如果您尝试使用传统的LU分解算法时,对角线系数等于0,则在执行高斯消元法创建上三角矩阵时需要对角线系数,因此无法工作,U因此您将获得除以零误差.需要旋转以确保分解稳定.

但是,如果您可以保证矩阵的对角线系数不为零,那么它非常简单,但您必须自己编写.您所要做的就是在矩阵上执行高斯消元法,并将矩阵缩减为梯形缩减形式.结果减少了梯形形式矩阵,U而去除L高斯消元的下三角形部分所需的系数将被放置在下三角形中U.

假设你的矩阵存储在这里,这样的东西可以工作A.请记住,我在这里假设一个方阵.非旋转LU分解算法的实现放在一个名为的MATLAB函数文件中lu_nopivot:

function [L, U] = lu_nopivot(A)

n = size(A, 1); % Obtain number of rows (should equal number of columns)
L = eye(n); % Start L off as identity and populate the lower triangular half slowly
for k = 1 : n
    % For each row k, access columns from k+1 to the end and divide by
    % the diagonal coefficient at A(k ,k)
    L(k + 1 : n, k) = A(k + 1 : n, k) / A(k, k);

    % For each row k+1 to the end, perform Gaussian elimination
    % In the end, A will contain U
    for l = k + 1 : n
        A(l, :) = A(l, :) - L(l, k) * A(k, :);
    end
end
U = A;

end

作为一个运行的例子,假设我们有以下3 x 3矩阵:

>> rng(123)
>> A = randi(10, 3, 3)

A =

     7     6    10
     3     8     7
     3     5     5

运行算法给我们:

>> [L,U] = lu_nopivot(A)

L =

    1.0000         0         0
    0.4286    1.0000         0
    0.4286    0.4474    1.0000   

U =

    7.0000    6.0000   10.0000
         0    5.4286    2.7143
         0         0   -0.5000

乘法L和U一起给出:

>> L*U

ans =

     7     6    10
     3     8     7
     3     5     5

......这是原始矩阵A.